考查角度4轨迹方程与探索性问题分类透析一轨迹方程的求解例1已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求⃗AD·⃗EB的最小值.分析(1)设动点为P(x,y),根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式,列方程,并化简;(2)设出直线l1的方程,与抛物线方程联立消去y,得到关于x的一元二次方程,用韦达定理,求出两个根的和与积.由l1与l2的关系,同理求出另外两个根的和与积,再代入⃗AD·⃗EB,利用基本不等式求出其最小值.解析(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得❑√(x-1)2+y2-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|.当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0.所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).由{y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+4k2,x1x2=1.因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-1k.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.故⃗AD·⃗EB=(⃗AF+⃗FD)·(⃗EF+⃗FB)=⃗AF·⃗EF+⃗AF·⃗FB+⃗FD·⃗EF+⃗FD·⃗FB=|⃗AF|·|⃗FB|+|⃗FD|·|⃗EF|=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+(2+4k2)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+1k2)≥8+4×2❑√k2·1k2=16.当且仅当k2=1k2,即k=±1时,⃗AD·⃗EB取得最小值16.方法技巧直接求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的正确性.分类透析二探索性问题例2已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为❑√32,过椭圆E的右顶点R任意作直线l,设直线l交抛物线y2=2x于M,N两点,且OM⊥ON.(1)求椭圆E的方程;(2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点,若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂直?并证明你的结论.分析(1)设直线l:ty=x-a,代入y2=2x并整理得方程,利用韦达定理结合OM⊥ON,即可求出椭圆方程;(2)用根与系数的关系或点差法证明kPA·kPB=-1.解析(1)设点M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l:ty=x-a,代入y2=2x并整理得y2-2ty-2a=0,所以{y1+y2=2t,y1y2=-2a.故⃗OM·⃗ON=x1x2+y1y2=14(y1y2)2+y1y2=14×4a2-2a=a2-2a=0,解得a=2.又e=ca=❑√32,所以c=❑√3,b=1,所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)PA⊥PB恒成立.证明如下:设B(x1,y1),P(x0,y0),则A(-x0,-y0),D(x0,-y02),x124+y12=1,x024+y02=1,两式相减得y12-y02x12-x02=-14,故kBA·kPB=y1+y0x1+x0·y1-y0x1-x0=y12-y02x12-x02=-14.又kAB=kAD=-y02+y0x0+x0=y04x0,代入上式可得kPB=-x0y0,所以kPA·kPB=y0x0·(-x0y0)=-1,即PA⊥PB.方法技巧涉及中点弦的问题的两种解法:①点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ是否为正数.②根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.分类透析三探索满足条件的点例3已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的上方.(1)求圆C的标准方程.(2)任意过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出定点N的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)设圆心C(a,0)(a>-52),则|4a+10|5=2⇒a=0或a=-5(舍去),所以圆C的标准方程为x2+y2=4.(2)当直线AB⊥x轴时,在x轴正半轴上任一点,都可使x轴平分∠ANB.当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立圆C的方程和直线AB的方程,得{x2+y2=4,y...
