第一讲等差数列与等比数列1.对等差、等比数列基本量的考查是重点内容，常以选择题或填空题的形式出现.考查运用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，为简单题.2.对等差、等比数列性质的考查是热点，主要以选择题或填空题的形式出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题，为中档题.3.等差、等比数列的综合问题，多以解答题的形式考查，主要考查考生综合数学知识解决问题的能力，为中档题.1.等差数列的定义.数列{an}满足an＋1－an＝d（其中n∈N*，d为与n值无关的常数）⇔{an}是等差数列.2.等差数列的通项公式.若等差数列的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）.3.等差中项.若x，A，y成等差数列，则A＝，其中A为x，y的等差中项.4.等差数列的前n项和公式.若等差数列首项为a1，公差为d，则其前n项和Sn＝＝na1＋Ｗ.1.等比数列的定义.数列{an}满足＝q（其中an≠0，q是与n值无关且不为零的常数，n∈N*）⇔{an}为等比数列.2.等比数列的通项公式.若等比数列的首项为a1，公比为q，则an＝a1·qn－1＝am·qn－m（n，m∈N*）.3.等比中项.若x，G，y成等比数列，则G2＝xy，其中G为x，y的等比中项，G值有两个.4.等比数列的前n项和公式.设等比数列的首项为a1，公比为q，则Sn＝判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（×）（2）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（√）（3）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.（×）（4）满足an＋1＝qan（n∈N*，q为常数）的数列{an}为等比数列.（×）（4）G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.（×）（6）1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝.（×）1.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则数列{an}的前5项和S5＝（B）A.7B.15C.20D.25解析：2d＝a4－a2＝5－1＝4⇒d＝2，a1＝a2－d＝1－2＝－1，a5＝a2＋3d＝1＋6＝7，故S5＝＝＝15.2.（2015·北京卷）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（C）A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C.若0＜a1＜a2，则a2＞D.若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＞0解析：设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝（a1＋a2）＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝（a1＋a3）－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a－a1a3＝（a1＋d）2－a1（a1＋2d）＝d2＞0，∴a2＞，故选项C正确；若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＝d·（－d）＝－d2≤0，故选项D错.3.（2015·新课标Ⅱ卷）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（B）A.21B.42C.63D.84解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3（舍去）.∴a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×21＝42.故选B.4.等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是（B）A.90B.100C.145D.190解析：设公差为d，则（1＋d）2＝1·（1＋4d）.∵d≠0，解得d＝2，＝100.
