第5章第1节(一、选择题(每小题6分，共36分)1．下列等式不正确的是()A．a＋0＝aB．a＋b＝b＋aC.AB＋BA≠0D.AC＝DC＋AB＋BD【解析】解法1：∵AB与BA为相反向量，∴AB＋BA＝0，∴C不正确．解法2：AB＋BA＝(OB－OA)＋(OA－OB)＝OB－OB－OA＋OA＝0.∴C不正确．【答案】C2．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是()A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对【解析】由已知AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC.∴AD∥BC，又AB与CD不平行，∴四边形ABCD是梯形．【答案】C3．(2009年山东卷)设P是△ABC所在平面内的一点，BC＋BA＝2BP，则()A.PA＋PB＝0B.PC＋PA＝0C.PB＋PC＝0D.PA＋PB＋PC＝0【解析】因为BC＋BA＝2BP，所以点P为线段AC的中点，故选B.【答案】B4．设OB＝xOA＋yOC，且A、B、C三点共线(该直线不过端点O)，则x＋y等于()A．1B．－1C．0D．不能确定【解析】∵A、B、C三点共线，∴存在一个实数λ，使AB＝λAC，即OB－OA＝λ(OC－OA)．用心爱心专心1∴OB＝(1－λ)OA＋λOC.又∵OB＝xOA＋yOC，∴x＋y＝(1－λ)＋λ＝1.【答案】A5．已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则()A．点P在△ABC外部B．点P在线段AB上C．点P在线段BC上D．点P在线段AC上【解析】∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PB＋PC－AB＝0，即PA＋PB＋BA＋PC＝0，∴PA＋PA＋PC＝0，2PA＝CP，∴点P在线段AC上．【答案】D6．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0【解析】∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，∴即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.【答案】D二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知四边形ABCD中，AB＝DC，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状是________．【解析】AB＝DC⇒AB∥DC，且|AB|＝|DC|，∴ABCD为梯形，又|AD|＝|BC|，∴为等腰梯形．【答案】等腰梯形8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA－3OB＋2OC＝0，则等于________．【解析】由已知得：(OA－OB)＋2(OC－OB)＝BA＋2BC＝0⇒AB＝2BC，根据数乘的意义可得：AB＝2BC⇒＝2.【答案】29．(2009年安徽卷)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.用心爱心专心2【解析】设AB＝a，AD＝b，那么AE＝a＋b，AF＝a＋b.又∵AC＝a＋b.∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.【答案】三、解答题(共46分)10．(15分)设i、j分别是平面直角坐标系Ox、Oy正方向上的单位向量，且OA＝－2i＋mj，OB＝ni＋j，OC＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．【解析】AB＝OB－OA＝(n＋2)i＋(1－m)j，BC＝OC－OB＝(5－n)i＋(－2)j.∵点A、B、C在同一条直线上，∴AB∥BC，即AB＝λBC，∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，∴，解得或.11．(15分)如图，以向量OA＝a，OB＝b为边作▱OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a，b表示OM、ON、MN.【解析】∵BA＝OA＝OB＝a－b，BM＝BA＝a－b.∴OM＝OB＋BM＝a＋b，又OD＝a＋b，ON＝OC＋CD＝OD＋OD＝OD＝(a＋b)．∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.即有OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b.12．(16分)如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.(1)用a、b表示向量AD、AE、AF、BE、BF；(2)求证：B、E、F三点共线．【解析】(1)延长AD到G，使AD＝AG，连接BG、CG，得到▱ABGC，所以AG＝a＋b，AD＝AG＝(a＋b)，用心爱心专心3AE＝AD＝(a＋b)．AF＝AC＝b，BE＝AE－AB＝(a＋b)－a＝(b－2a)．BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知BE＝BF，∴BE与BF共线，又∵BE与BF有公共点B，所以B、E、F三点共线．用心爱心专心4
