第47讲合情推理与演绎推理1．下列在向量范围内成立的命题，类比推广到复数范围内，仍然为真命题的个数是(C)①|a·b|≤|a|·|b|;②|a＋b|≤|a|＋|b|；③a2≥0;④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.A．1B．2C．3D．4其中①、②、④为真，③为假，故选C.2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝()x是指数函数(小前提)，所以y＝()x是增函数(结论)”，上面推理中错误的是(A)A．大前提错，导致结论错B．小前提错，导致结论错C．推理形式错，导致结论错D．大前提和小前提都错，导致结论错3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n∈N*)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an为(B)A.B.C.D.因为S2＝4a2＝a1＋a2，所以a2＝＝＝，因为S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，所以a3＝＝＝，S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋＋＋a4，所以a4＝＝＝，所以猜想an＝(n∈N*)，选B.4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx．由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(D)A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)由归纳推理可得，若f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数，即g(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，选D.5．(2018·广州二模)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15＋21；②49＝18＋31；③64＝28＋36；④81＝36＋45中符合这一规律的等式是__①③④__．(填写所有正确结论的编号)观察得：(n＋1)2＝(1＋2＋…＋n)＋[1＋2＋…＋n＋(n＋1)]，符合上述特征的数有①③④.6.在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA，SB，SC两两垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，则四面体SABC的外接球半径R＝.类比△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝的推导方法——构造长方形．由此可将四面体SABC构造出长方体，由对角截面性质可知，球的直径等于长方体的体对角线长，即2R＝，故R＝.7．观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(30°＋α)＝.证明：左边＝sin2α＋(cosα－sinα)2＋sinα(cosα－sinα)＝sin2α＋cos2α－sinαcosα＋sin2α＋cosαsinα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝＝右边，故猜想成立．8．(2018·兰州市高三实战考试)设n∈N*，则＝(A)(方法1)(归纳法)因为1＝(10－1)，11＝(102－1)，…，归纳得11…1,\s\do4(2n个))＝(102n－1)，同理22…2,\s\do4(n个))＝(10n－1)，所以＝＝＝＝33…3,\s\do4(n个))．(方法2)(排除法)当n＝1时，＝＝3，排除选项D.当n＝2时，＝＝＝33，排除B，C.故选A.9．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．10．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－.请根据这一发现，(1)求函数f(x)的对称中心；(2)计算f(...
