考点：利用基本不等式求最值1、(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为()．A．0B．1C.D．3解析(1)由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，∴＝＝.又x，y，z为正实数，∴＋≥4，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.∴＋－＝＋－＝－2＋＝－2＋1，当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.答案：B2、已知＋＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为()．A．1B．2C．4D．8解析： x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．答案：D3、(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A.B.C．5D．6(2)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()．A.B.C．2D.解析(1)由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C4、设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为()．A．4B．4C．9D．16解析由＋＝1可化为xy＝8＋x＋y， x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案D5．(2014·泰安一模)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是()．A．a＋b≥2B.＋＞C.＋≥2D．a2＋b2＞2ab解析因为ab＞0，即＞0，＞0，所以＋≥2＝2.答案C16、设a＞0，b＞0.若a＋b＝1，则＋的最小值是()．A．2B.C．4D．8解析由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.答案C7．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是()．A．3B．4C．5D．6解析由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.答案B8．已知函数y＝x－4＋(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝()．A．－3B．2C．3D．8解析y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案C9．若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案910．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为______．解析 x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝，即当x＝，y＝2时取等号．答案311．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．解析 y＝a1－x恒过点A(1,1)，又 A在直线上，∴m＋n＝1.而＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝n＝时，取“＝”，∴＋的最小值为4.答案412．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求u＝lgx＋lgy的最大值；解： x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. 2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.13．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()．A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)解析 x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，2只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4
