第十二章概率与统计古典概型、几何概型【背一背重点知识】1.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，①有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故.2.几何概型：事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型．在几何概型中，事件A的概率定义为：，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性。【讲一讲提高技能】1.必备技能：(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．2．典型例题：例1从、、、、、、、、、中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率为.分析：本题属于古典概型，上述十个数中比小的数有个，比大的数有个，要使得所选的七个数的中位数为，则应该在比大的数中选择个，在比大的数中也选择个，应用公式计算即得.【解析】上述十个数中比小的数有个，比大的数有个，要使得所选的七个数的中位数为，则应该在比大的数中选择个，在比大的数中也选择个，因此所求事件的概率为.例2两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，则两人会面的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【练一练提升能力】1.从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.【答案】8【解析】从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，所有的取法有种取法，而取出的两数之和等于5的取法只有两种，即、，所以其概率为，解得，解得.2.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：令，，，则，，即是的重心，条件概率与二项分布（理）【背一背重点知识】1.条件概率：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“________”来表示，其计算公式为P(B|A)＝.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法．2.相互独立事件：对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A与B是相互独立事件．若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)P(B).若A与B相互独立，则A与、与B、与也都相互独立，反之，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则A与B是相互独立事件．注意：“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系：相同点为二者都是描述两个事件间的关系.不同点是针对问题的角度不同.互斥事件是针对一次试验下的两个事件A,B能不能同时发生,相互独立事件是针对两次或更多次不同试验下出现的两个事件A,B，一个事件对另一个事件发生的概率有没有影响.具体来说,相互独立事件,不是一个事件对另一个事件发生没有影响,而是一个事件对另一个事件发生的概率没有影响.互斥事件不一定是相互独立事件,相互独立事件不一定是互斥事件。若存在不可能事件即概率为0的情况，如在数轴上取一个数，设事件A=“取到的数是1”，事件B=“取到的数是2”，则A、B既互斥又相互独立；但若A、B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则它们不可能互相独立：因为A发生的条件下，B不可能发生...
