第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝(b2＋c2－a2)，则B等于()(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°C解析：由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinC·sinC，即sin(B＋A)＝sin2C，所以sinC＝1，C＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得S＝bcsinA，b2＋c2－a2＝2bccosA，代入已知得bcsinA＝·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.故选C.2．△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()(A)(B)(C)(D)B解析：设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC边上的高为AB·sinB＝3×＝.故选B.3．(2019烟台一中)△ABC中，若sinC＝(cosA＋sinA)cosB，则()(A)B＝(B)2b＝a＋c(C)△ABC是直角三角形(D)a2＝b2＋c2或2B＝A＋CD解析： sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB∴cosAsinB＝cosAcosB∴sinB＝cosB或cosA＝0即B＝或A＝，故选D.4．在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝()(A)1(B)2(C)－2(D)B解析：不妨设a＝2，b＝3，c＝4，故cosC＝＝－，故＝＝＝2，故选B.5．在△ABC中，内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，a2＝(b－c)2＋12，A＝，则△ABC的面积为()(A)(B)(C)(D)C解析： a2＝(b－c)2＋12＝b2＋c2－2bc＋12，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2bc(1－cosA)＝12，∴bc＝4.∴△ABC的面积S△ABC＝bcsinA＝×4×＝，故选C.6．(2019河南六市一联)在锐角△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为()(A)(B)1(C)2(D)2A解析：由三角形面积公式可得S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，解得bc＝3.因为A为锐角，sinA＝，所以cosA＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据得b2＋c2＝6，则(b＋c)2＝12，b＋c＝2，所以b＝c＝，故选A.7．(2019山西大学附中月考)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝6cosC，则＋的值是________．解析：因为＋＝6cosC，所以＝6×，整理得b2＋a2＝c2，则＋＝·(＋)＝·＝·＝＝＝＝4.答案：48．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则△ABC周长的最大值为________．解析：在△ABC中，设a，b，c分别是△ABC的三个角A，B，C的对边．由余弦定理得()2＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac≥(a＋c)2－32，则(a＋c)2≤3，解得a＋c≤2，故△ABC周长的最大值为3.答案：39．设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且(BA＋BC)·AC＝0，则△ABC的形状是___________________________________________________________．解析：由题得2B＝A＋C,3B＝π得B＝，设AC中点D，则(BA＋BC)·AC＝2BD·AC＝0，即BD⊥AC得a＝c.所以△ABC为等腰三角形，又因为B＝，所以△ABC为等边三角形．答案：等边三角形10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.解析：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝.(2)由cosB＝得sinB＝，故S△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.由余弦定理及a＋b＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.所以b＝2.11．已知△ABC的外接圆直径为，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°.2(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解析：(1)因为＝＝＝2R＝，所以a＝sinA，b＝sinB，c＝sinC.所以＝＝.(2)由c＝sinC，得c＝×＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1(舍去)．所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.能力提升练(时间：15分钟)12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bsinA＝a，若△ABC为锐角三角形，则角B的大小为()(A)(B)(C)(D)B解析：由2bsinA＝a可得2sinBsinA＝sinA，因为sinA≠0，所以sinB＝，又△ABC为锐角三角形，所以角B的大小为，选B.13．(2019邯郸模拟)在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为()(A)4sin＋(B)4sin＋3(C)6sin＋3(D)6sin＋3D解析：由正弦定理得＝...
