课后限时集训30平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：45分钟一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为()A.B．－C.D．－D[ a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)． λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]3．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则|a－b|＝()A.B.C．2D.A[因为|a|＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以|a－b|＝.故选A.]4．a，b为平面向量，已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于()A．－B．－C.D.B[ a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)，∴a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ， a·b＝|a||b|·cosθ＝2×cosθ＝10cosθ，∴10cosθ＝－6，∴cosθ＝－，故选B.]5．如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算AB·AD＝()A．10B．11C．12D．13B[以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，AB＝(4,1)，AD＝BC＝(2,3)，∴AB·AD＝4×2＋1×3＝11，故选B.]6．(2019·河北衡水模拟三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.]7．(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则CP·CB＋CP·CA＝()A．0B．1C.D．－B[以点C的坐标原点，分别以CA，CB的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以CP·CB＋CP·CA＝CP·(CB＋CA)＝＋＝1.故选B.]二、填空题8．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．[ a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝.]9．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．－[ |a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.]10．如图所示，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若CE＝－7DE，3BF＝FC，则AF·BE＝________.－11[以A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图．则A(0,0)，B(4,0)，E(1,4)，F(5,1)，所以AF＝(5,1)，BE＝(－3,4)，则AF·BE＝－15＋4＝－11.]1．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.A[由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为，故选A.]2．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为()A．－2B．－C．－1D．0B[因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨设a＝(1,0)，b＝，c＝(cosθ，sinθ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cosθ＋2－1＝sinθ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值为－，故选B.]3．在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，a＋c＝3，cosB＝，则AB·BC＝________.－[由a，b，c成等比数列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝＝，则＝，解得ac＝2，则AB·BC＝accos(π－B)＝－accosB＝－.]4．(2019·衡水第二次调研)如图所示，|AB|＝5，|AE|＝，AB·AE＝0，且AB＝2AD，AC＝3AE，连接BE，CD交于点F，则|AF|＝________.[由三点共线可知，AF＝λAB＋(1－λ)AE＝2λAD＋(1－λ)AE(λ∈R)，①同理，AF＝μAD＋(1－μ)AC＝μA...
