数列求和的三种基本类型冯寅一.单一型给出一个等差或等比数列直接求它们的和，是数列求和最基本最重要的方法，有时给出的数列不明确，这就需要仔细分析。例1.求数列：前n项之和。分析：这个数列每项的计算结果既不是等差数列，也不是等比数列，但其结构特点有等差数列的“影子”，前n项的和可以看成是前多少个自然数的和，问题的关键是求多少个自然数。根据每项中数的个数，我们可以发现前n项的和中应该有个自然数。前n项的和例2.已知数列中，前n项的和，求数列的前n项之和。分析：此题的关键是数列究竟是怎样的数列？利用数列前n项的和，可知。当时，，而时也满足，因此数列的通项。是首项为1，公比为2的等比数列，那么数列也是等比数列，且首项为1，公比为4。数列的前n项之和。二.混合型有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但它由等差和等比数列混合而成。若它们是和或差的混合，那么只需将它们分类求和；若是乘积的混合，那么利用课本中推导等比数列的前n项和公式时所用的方法（错位相减法）来完成。例3.求数列：，，…，前n项之和。分析：这个数列既不是等差数列也不是等比数列，观察通项，发现此数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的。那么，数列前n项之和为：例4.求数列：1，3x，，…，前n项之和。分析：此数列可以看成一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到的，利用错位相减来完成。设①①式两边乘以x得。②用心爱心专心115号编辑由得当时，。当时，，则。三.部分型有时数列求和不是求前n项的和，而是求它某一部分的和，这就需要对这一部分作仔细的分析，了解它的特点，进而转化为熟悉的类型来加以解决。例5.数列的前n项和为，且求的值。分析：对于数列，由，得。由，得。又，可得。数列的通项公式为可知是首项为，公比为，项数为n的等比数列。。例6.已知数列为等差数列，公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，其中。求数列的前n项之和。分析：此题关键是认识数列，要想求和应先求通项，而含在中，在等差数列中，是其第项，。在等比数列中，是其第n项，。。①因为，表明成等比数列，所以，即，代入①得。②由，代入②得。数列的前n项之和。小结：上述三种类型是数列求和的基本类型，掌握了这些类型，才可能融会贯通，举一反三，真正突破数列求和这一难点。用心爱心专心115号编辑用心爱心专心115号编辑
