每日一题规范练(第二周)[题目1]已知{an}是公差不为0的等差数列，且满足a1＝2，a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设{an}的公差为d，因为a1，a3，a7成等比数列，所以a＝a1a7.所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，则4d2－2a1d＝0.由d≠0，a1＝2，得d＝1，所以an＝n＋1.(2)由(1)知，bn＝an＋2an＝n＋1＋2n＋1，所以Sn＝[2＋3＋4＋…＋(n＋1)]＋(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＝＋＝2n＋2＋.[题目2]设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的一个对称中心为，且图象上最高点与相邻最低点的距离为.(1)求ω和φ的值；(2)若f＝，求cos的值．解：(1)由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为，得＋12＝12＋，所以ω＝2.因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的一个对称中心为，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z.又－＜φ＜，所以取φ＝－.(2)由(1)知，f(x)＝sin，所以f＝sin＝sinα.则sinα＝，所以sinα＝.由于0＜α＜，得cosα＝＝，因此cos＝(cosα－sinα)＝×＝.[题目3](2019·英才大联考)如图，在棱长为1的正方体PB1N1D1-ABND中，动点C在线段BN上运动，且有BC＝λAD(0＜λ≤1)．(1)若λ＝1，求证：PC⊥BD；(2)若二面角B-PC-D的平面角的余弦值为－，求实数λ的值．(1)证明：当λ＝1时，C与N重合，连接AN.则在正方形ABND中，BD⊥AN.又在正方体中，PA⊥底面ABND，而BD⊂平面ABND，所以PA⊥BD.又PA∩AN＝A，所以BD⊥平面PANN1.由于PN⊂平面PANN1，所以PN⊥BD.因此PC⊥BD.(2)解：依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则C(1，λ，0)，P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，1，0)．PC＝(1，λ，－1)，PB＝(1，0，－1)，PD＝(0，1，－1)．设平面PBC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)．则即取z1＝1得n1＝(1，0，1)．设平面PCD的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)．则即取z2＝1得n2＝(1－λ，1，1)．所以|cos〈n1，n2〉|＝＝＝.解得λ＝或λ＝－13.因为0＜λ≤1，所以λ＝.[题目4]资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，5，2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值．(2)下表是2019年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170，180)内．组数分组天数第一组[50，80)3第二组[80，110)4第三组[110，140)4第四组[140，170)6第五组[170，200)5第六组[200，230)4第七组[230，260)3第八组[260，290)1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．解：(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2＋114×5＋2x＝118×9，解得x＝172.即重度污染区AQI的平均值为172.(2)①由题意知，AQI在[170，180)内的天数为1，由题表可知，AQI在[50，170)内的天数为17，故11月份AQI小于180的天数为1＋17＝18.又＝，则该校周日去进行社会实践活动的概率为.②由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.则X的分布列为：X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.[题目5]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A、B，点M、N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM、BN的斜率分别为k1、k2，求3k1＋2k2的值．解：(1)由题意，得2b＝4，所以b＝2.又＝，且a2－c2＝b2＝8.所以a＝3，c＝1.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)可知，A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0)．根据...
