专题研究3数列的综合应用第一次作业1．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝()A．2B．－2C.D．－答案D解析S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6. S22＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．∴4a12－4a1＋1＝4a12－6a1⇒a1＝－.2．(2017·山西四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝()A．1＋B．1－C．3＋2D．3－2答案C解析因为a1，a3，2a2成等差数列，所以a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，所以q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.3．已知{an}是等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为()A．4B.C．－4D．－答案C解析S5＝5a1＋d，所以5×15＋10d＝55，即d＝－2.所以kPQ＝＝2d＝－4.4．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年答案B解析根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.5．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2B．4C．8D．16答案D解析因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a72＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b72＝a72＝16.6．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6，则由{an}，{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn＝()A．3n＋4B．6n＋2C．6n＋4D．2n＋2答案C解析设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2，则d1＝＝＝2，d2＝＝＝3.∴an＝a2＋(n－2)×2＝2n＋4，bn＝b2＋(n－2)×3＝3n－2.∴数列{an}为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{bn}为1，4，7，10，13，16，19，22，….∴{cn}是以10为首项，以6为公差的等差数列．1∴cn＝10＋(n－1)×6＝6n＋4.7．(2017·重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为()A．200B．300C.D．400答案B解析由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a1，a2，a3，a4，a5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝500.由等差数列的性质可得5a3＝500，即a3＝100，所以a2＋a3＋a4＝3a3＝300.8．(2017·河南洛阳期末)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝()A．2B．3C．5D．6答案B解析 a2，a4，a8成等比数列，∴a42＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴a1＝d，∴＝＝3.故选B.9．(2017·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n与形如3n(n∈N*)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg2≈0.3010)()A．1631B．6542C．15340D．17424答案B解析由2n<104，得n<≈13.29，故数列{2n}在1到104之间的项共有13项，它们的和S1＝＝16382；同理，数列{3n}在1到104之间的项共有8项，它们的和S2＝＝9840，∴|S1－S2|＝6542.10．(2018·温州十校联考)设数列{an}和{bn}分别是等差数列与等比数列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，则以下结论正确的是()A．a2>b2B．a3b5D．a6>b6答案A解析设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d，q，则由题意得解得则a2－b2＝3－>3－＝0；故选A.11．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．答案或1解析设数列{an}的公差为d...
