第55讲坐标系1.[2018·内蒙古集宁一中月考]在极坐标系中,求点(2,π6)到直线ρsin(θ-π6)=1的距离.2.在极坐标系中,已知圆C经过点P❑√2,π4,圆心为直线ρsinθ-π3=-❑√32与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.3.[2018·福建质检]在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,曲线C3:θ=π6(ρ>0),A(2,0).(1)写出曲线C1的极坐标方程;(2)设C3分别交C1,C2于P,Q两点,求△APQ的面积.4.[2018·南昌模拟]在平面直角坐标系中,圆C1:x2+y2=1经过伸缩变换{x'=2x,y'=❑√3y后得到曲线C2.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(2cosθ+❑√3sinθ)=9.(1)求曲线C2及直线l的直角坐标方程;(2)设M是曲线C2上一动点,求点M到直线l的距离的最大值.5.[2018·齐齐哈尔模拟]在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ,点P在曲线C上运动.(1)若点Q在射线OP上,且|OP|·|OQ|=4,求点Q的轨迹的直角坐标方程;(2)设M(4,3π4),求△MOP面积的最大值.6.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2❑√2sin(θ+π4),曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a(a>0),射线θ=φ,θ=φ+π4,θ=φ-π4,θ=φ+π2与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D.(1)若曲线C1关于曲线C2对称,求a的值,并把曲线C1和C2的方程化成直角坐标方程;(2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值.7.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cosθ,ρcos(θ+π3)=1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在射线OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出其轨迹是什么图形.8.[2018·贵阳模拟]在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.(1)求曲线C2的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l与曲线C1,C2分别交于A,B两点(A,B异于原点),求|OA|·|OB|的取值范围.课时作业(五十五)1.解:以极点为原点,以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,则点2,π6的直角坐标为2cosπ6,2sinπ6,即(❑√3,1).ρsinθ-π6=1可化为❑√32ρsinθ-12ρcosθ=1,所以直线的直角坐标方程为x-❑√3y+2=0,由点到直线的距离公式得所求距离为1.2.解:在ρsinθ-π3=-❑√32中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).又因为圆C经过点P❑√2,π4,所以圆C的半径|PC|=❑√(❑√2)2+12-2×1×❑√2cosπ4=1,所以圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.3.解:(1)因为曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,所以曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ.(2)依题意,设点P,Q的极坐标分别为ρ1,π6,ρ2,π6.将θ=π6代入ρ=4cosθ,得ρ1=2❑√3,将θ=π6代入ρ=2sinθ,得ρ2=1,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=2❑√3-1.依题意,点A(2,0)到曲线θ=π6(ρ>0)的距离d=|OA|sinπ6=1,所以S△APQ=12|PQ|·d=12×(2❑√3-1)×1=❑√3-12.4.解:(1)由x2+y2=1经过伸缩变换{x'=2x,y'=❑√3y,可得x'22+y'❑√32=1,故曲线C2的方程为x24+y23=1.由极坐标方程ρ(2cosθ+❑√3sinθ)=9可得直线l的直角坐标方程为2x+❑√3y-9=0.(2)由(1)可得曲线C2的参数方程为{x=2cosα,y=❑√3sinα(α为参数),所以可设点M(2cosα,❑√3sinα),由点到直线的距离公式得点M到直线l的距离d=|4cosα+3sinα-9|❑√7=|5cos(α-φ)-9|❑√7其中cosφ=45,sinφ=35,由三角函数的性质知,当α-φ=π时,点M到直线l的距离取得最大值2❑√7.5.解:(1)设Q(ρ,θ),P(ρ1,θ),ρ>0,ρ1>0,则ρ1=sinθ+cosθ,又|OP|·|OQ|=4,∴ρρ1=4,∴ρ1=4ρ,∴4ρ=sinθ+cosθ,∴ρcosθ+ρsinθ=4.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式可得点Q的轨迹的直角坐标方程为x+y=4.(2)设P(ρ1,θ)(ρ1>0),则ρ1=cosθ+sinθ, M4,3π4,∴△MOP的面积S=12×4ρ1|sin(3π4-θ)|=2ρ1|❑√22cosθ+❑√22sinθ|=❑...
