第7节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用考试要求1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识梳理1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)AT＝f＝ωx＋φφ3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径[常用结论与易错提醒]1.由函数y＝sinx的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asint的值域.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.()解析(1)将函数y＝3sin2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当|ω|≠1时平移的长度不相等.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为()A.2，，－B.2，，－C.2，，－D.2，，－解析振幅A＝2，频率f＝＝＝，初相φ＝－.答案A3.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为()A.B.C.πD.2π解析f(x)＝＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.答案C4.(2019·金华一中月考)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析因为y＝cos＝－sin2x，故要得到函数y＝sin＝－sin的图象，只需将函数y＝－sin2x的图象向左平移个单位长度即可，故选C.答案C5.(2016·浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsinx＋c，则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关解析因为f(x)＝sin2x＋bsinx＋c＝－＋bsinx＋c＋，其中当b＝0时，f(x)＝－＋c＋，f(x)的周期为π；b≠0时，f(x)的周期为2π，即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.答案B6.如图是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，已知函数图象经过P，Q两点，则ω＝________，φ＝________.解析因为f(x)过一个周期内的关键点P，Q，故T＝－(T为最小正周期)，即·＝，解得ω＝2，由f(x)的图象经过点P得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|≤，则φ＝－.答案2－考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换【例1】设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)的周期为π.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到.解f(x)＝sinωx＋cosωx＝2＝2sin，又 T＝π，∴＝π，即ω＝2，∴f(x)＝2sin.(1)令z＝2x＋，则y＝2sin＝2sinz.列表，并描点画出图象：x－z0π2πy＝sinz010－10y＝2sin020－20(2)法一把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象...
