模块评估检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知α是第二象限角,sinα=,则cosα=(A)A.-B.-C.D.2.(2018·日照高一检测)已知sin=,则cos2的值为(D)A.B.C.D.3.(2018·三明高一检测)已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则|a+b|=(B)A.B.C.D.54.sin18°sin78°-cos162°cos78°=(A)A.B.-C.D.-5.已知角θ的始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=(D)A.-B.C.D.-6.已知=-2,则tanx的值为(A)A.B.-C.D.-7.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为(C)A.B.C.D.8.已知函数f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω的值为(C)A.B.C.D.9.(2018·广州高一检测)已知向量与的夹角为120°,且=2,=3,若=λ+,且⊥,则实数λ的值为(D)A.B.13C.6D.10.已知a=,b=(4,4cosα-),若a⊥b,则sin等于(A)A.-B.-C.D.11.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-,则实数m的值为(A)A.B.±C.-D.12.(2018·江西九校联考)已知锐角α,β满足sinα-cosα=,tanα+tanβ+tanαtanβ=,则α,β的大小关系是(B)A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知某扇形所在圆的半径为R,且该扇形的面积为R2,那么这个扇形的圆心角的弧度数α(0<α<2π)是2.14.已知向量a=(cos5°,sin5°),b=(cos65°,sin65°),则|a+2b|=.15.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=,BC=2,点E为AB的中点,若·=-2,则向量在向量上的投影为-.16.已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=(-<α<),若对实数x∈R,都有f(x-3)≤f(x)恒成立,则实数α的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知0<α<π,tanα=-2.(1)求cosα的值.(2)求2sin2α-sinαcosα+cos2α的值.【解析】(1)因为0<α<π,tanα=-2,可得=-2,所以α为钝角且cosα<0.再由sin2α+cos2α=1,<α<π,所以cosα=-.(2)原式===.18.(本小题满分12分)设a,b,满足|a|=|b|=1,及|3a-2b|=.(1)求a与b的夹角.(2)求|3a+b|的值.【解析】(1)将|3a-2b|=平方得9a2-12a·b+4b2=7,所以a·b=,设a与b的夹角为θ.因为θ∈[0,π],a·b=|a||b|·cosθ=,所以θ=.(2)|3a+b|==.19.(本小题满分12分)已知tanα=2,tanβ=-,其中0<α<,<β<π.求:(1)tan(α-β)的值.(2)α+β的值.【解析】(1)因为tanα=2,tanβ=-,所以tan(α-β)===7.(2)因为tan(α+β)===1,且0<α<,<β<π,所以<α+β<.所以α+β=.20.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=2sinωx·cosωx+2bcos2ωx-b(其中b>0,ω>0)的最大值为2,直线x=x1、x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为.(1)求b,ω的值.(2)若f(α)=,求sin的值.【解析】(1)因为f(x)=sin2ωx+bcos2ωx.所以f(x)max==2.因为b>0,所以b=.所以f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin,所以T=π=.所以ω=1.所以f(x)=2sin.(2)因为f(α)=2sin=.所以sin=.又因为cos=1-2sin2=.所以sin=sin=-cos=-.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos+2sin.(1)求函数f(x)的单调减区间.(2)求函数f(x)的最大值并求f(x)取得最大值时的x的取值集合.(3)若f(x)=,求cos的值.【解析】f(x)=2cosxcos+2sinxsin-2cosx=cosx+sinx-2cosx=sinx-cosx=2sin.(1)令2kπ+≤x-≤2kπ+π(k∈Z),所以2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以单调递减区间为(k∈Z).(2)f(x)取最大值2时,x-=2kπ+(k∈Z),则x=2kπ+(k∈Z).所以f(x)的最大值是2,取得最大值时的x的取值集合是.(3)f(x)=,即2sin=,所以sin=.所以cos=1-2sin2=1-2×=.22.(本小题满分12分)已知a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx).(1)若a·b=1,且x∈,求x的值.(2)设f(x)=a·b,x∈,若方程f(x)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为a·b=1,所以sinx·cosx+cos2x=1,即sin2x+cos2x=,所以sin=,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以2x+=,所以x=0.(2)f(x)=a·b=sin+,当x∈时,2x+∈,结合函数y=m的图象可看出,如果有两个交点,则实数m的取值范围是.
