专题06三角函数的恒等变形一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2.角的一致性问题3.三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7.角的范围对函数性质的影响8.用已知角表示未知角问题二．方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三．【题型方法】（一）三角公式的变形例1.________．【答案】2【解析】因为，又，所以，所以.故答案为2练习1．＝_______________.【答案】【解析】由题==故答案为练习2.计算：__________．【答案】【解析】由，可得，所以，填。练习3.__________．【答案】8【解析】注意到可化为.项证明一般结论如下：由于，故原式.练习4.已知为的最小正周期，，且，求的值．【答案】【解析】因为为的最小正周期，故．因，又．故．由于，所以（二）正切两弦的互化例2.若钝角满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，又为钝角，所以，则，解得（正根舍去）.故选：D练习1.化简的值为__________．【答案】【解析】原式，故答案为.练习2．在下列五个命题中：①已知大小分别为与的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角为;②已知，，则；③若A,B,C是斜的三个内角，则恒有成立；④；⑤已知，则的大小为;其中错误的命题有_________.（写出所有错误命题的序号）【答案】①②④⑤【解析】①由三角形法则，不符。②不符。③，所以成立，对。④=，错。⑤或，所以或，错。填①②④⑤。练习3.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题已知：，，所以.（2）由（1）知，所以.（三）角的一致性原则例3.已知0＜β＜＜α＜，cos（+α）=-，sin（+β）=，则cos（α+β）=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，，，所以为第二象限角，所以，因为，所以为第二象限角，所以，则，故选：D．练习1.．()A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.练习2.（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.（四）角的相对性关系设，且，则______．【答案】【解析】故tan又=故，则练习1.已知角满足，若，则的值为_____________.【答案】【解析】设，即①，则由，可得②，由①②求得，再由，求得，故答案为.（五）和差倍半的灵活运用例5．等差数列满足：，,且公差，若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则的取值范围是____________．【答案】【解析】分析：先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式化简等式的左边，再利用等差中项进行化简，再利用数列通项的符号变化确定答案.详解：由，得，即，即，即，即，因为，所以，则，即，又，得；若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则，解得.点睛：在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：①若，当时，则当且仅当最大；②若，当时，则当且仅当最小；③若最大，则.练习1.已知，，，则__________．【答案】【解析】 cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，∴cosγ=cos−αcos−β，sinγ=sin−αsin−β， =1，∴=1，整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−，∴cos(β−α)=−， 0⩽α<β<2π，∴0<β−α<2π∴β−α=或.①∴同理可得：cos(γ−β)=−−,解得：γ−β=或②。cos(γ−α)=−;解得：γ−α=或③。 0⩽α<β<γ<2π，∴β−α=,γ−β=,γ−α=.故β−α的值为.练习2.已知且的值.【答案】【解析】由练习3.（1）证明：；（2）试结合（1）的结论，求的值.（可能用到的公式：）【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将拆成，再用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式，同角的平方关系等，得出结论；（2）用（1）中的公式，再分解因式，求出的值。试题解析：（1）=.（2）由（1）得，即，所以，解得或（舍去）或（舍去），所以.（六）三角函数与方程例6.方程的两根为，，...
