第六节双曲线时间：45分钟分值：100分一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2B.C.D．1解析由已知得＝2，且a>0，解得a＝1，故选D.答案D2．(2014·广东卷)若实数k满足00)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B．3C.mD．3m解析由题意，可得双曲线C为－＝1，则双曲线的半焦距c＝.不妨取右焦点(，0)，其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝＝.故选A.答案A5．(2014·江西卷)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析设双曲线的右顶点为B，则B(a,0)．不妨取渐近线y＝x，则A点的坐标为(a，b)，从而可知|OA|＝c. 由已知可得|OF|＝|AF|＝c＝4，∴△OAF为边长是c的等边三角形．又AB⊥OF，∴|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2.故所求的双曲线方程为－＝1.答案A6．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则该双曲线的离心率为()A.B．2C.D.解析由题意可知F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，渐近线l1的直线方程为y＝x，渐近线l2的直线方程为y＝－x. l2∥PF2，∴＝－，即ay0＝bc－bx0. 点P在l1上，即ay0＝bx0，∴bx0＝bc－bx0，解得x0＝.∴P. l2⊥PF1，∴·＝－1，即3a2＝b2. a2＋b2＝c2，∴4a2＝c2，即c＝2a.答案B二、填空题7．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．解析本题考查双曲线的渐近线方程．由a2＝16，b2＝9，得渐近线方程为y＝±x＝±x.答案y＝±x8．双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．解析a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，则e＝＝＝，∴m＝9.答案99．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝x交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．解析因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝x，即bx－ay＝0的距离为＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为×2a×b＝ab.答案ab三、解答题10．直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程．解(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°.所以tan30°＝＝.于是e2＝＝1＋＝1＋＝.所以e＝.(2)由＝，可设双曲线方程为－＝1，即x2－3y2＝3k2.将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2，得x2－3·3(x－2)2＝3k2.化简得8x2－36x＋36＋3k2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝2＝2＝＝，解得k2＝1.故所求双曲线C的方程为－y2＝1.11．(2015·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．解(1) 双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b.∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2.∴双曲线方程为－＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，∴x0＝y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的...
