第二章第13节导数的综合应用第二课时1．(导学号14577231)(文科)(2018·贵阳市一模)设f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)且x1＞x2有m[f(x1)－f(x2)]＞g(x1)－g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝xex＋x2＋x，F′(x)＝(x＋1)(ex＋1)，令F′(x)＞0，解得x＞－1；令F′(x)＜0，解得x＜－1，故F(x)在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，故F(x)min＝F(－1)＝－－.(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)且x1＞x2有m[f(x1)－f(x2)]＞g(x1)－g(x2)恒成立，则任意x1，x2∈[－1，＋∞)且x1＞x2有mf(x1)－g(x1)＞mf(x2)－g(x2)＞0恒成立．令h(x)＝mf(x)－g(x)＝mxex－x2－x，x∈[－1，＋∞)，即只需h(x)在[－1，＋∞)递增即可，故h′(x)＝(x＋1)(mex－1)≥0在[－1，＋∞)恒成立，故m≥，而≤e，故m≥e.1．(导学号14577232)(理科)(2018·贵阳市一模)设f(x)＝lnx，g(x)＝x|x|.(1)求g(x)在x＝－1处的切线方程；(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的单调区间；(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＞x2，都有m[g(x1)－g(x2)]＞x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)x＜0时，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，故切线方程是y＋＝(x＋1)，即x－y＋＝0.(2)F(x)＝xlnx－x|x|＝xlnx－x2，(x＞0)，F′(x)＝lnx－x＋1，F″(x)＝－1.令F″(x)＞0，解得0＜x＜1；令F″(x)＜0，解得x＞1，故F′(x)在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，故F′(x)≤F′(1)＝0，故F(x)在(0，＋∞)递减．(3)已知可转化为x1＞x2≥1时，mg(x1)－x1f(x1)≥mg(x2)－x2f(x2)恒成立．令h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xlnx，则h(x)为单调递增的函数，故h′(x)＝mx－lnx－1≥0恒成立，即m≥恒成立．令m(x)＝，则m′(x)＝－，∴当x∈[1，＋∞)时，m′(x)≤0，m(x)单调递减，m(x)≤m(1)＝1，故m≥1.2．(导学号14577233)(理科)(2018·桂林市、北海市、崇左市一模)已知函数f(x)＝ax＋xlnx(a∈R)(1)若函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)＜f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k的最大值．解：(1) f(x)＝ax＋xlnx，1∴f′(x)＝a＋1＋lnx，又函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，∴当x≥e时，a＋1＋lnx≥0恒成立，∴a≥(－1－lnx)max＝－1－lne＝－2，即a的取值范围为[－2，＋∞)；(2)当x＞1时，x－1＞0，故不等式k(x－1)＜f(x)⇔k＜，即k<对任意x＞1恒成立．令g(x)＝，则g′(x)＝，令h(x)＝x－lnx－2(x＞1)，则h′(x)＝1－＝>0⇒h(x)在(1，＋∞)上单增． h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－ln4＞0，∴存在x0∈(3,4)使h(x0)＝0，即当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，∴g(x)在(1，x0)上单减，在(x0，＋∞)上单增．令h(x0)＝x0－lnx0－2＝0，即lnx0＝x0－2，g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0∈(3,4)，∴k＜g(x)min＝x0且k∈Z，即kmax＝3.2．(导学号14577234)(文科)(2018·潍坊市一模)设f(x)＝ax2－a＋，g(x)＝＋lnx.(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＋，讨论y＝h(x)的单调性；(2)证明：对任意a∈，∃x∈(1，＋∞)，使f(x)＜g(x)成立．解析：(1)h(x)＝f(x)－g(x)＋＝ax2－lnx－a，则h′(x)＝2ax－＝.①a≤0时，h(x)在(0，＋∞)递减；②a＞0时，令h′(x)＞0，解得x＞，令h′(x)＜0，解得0＜x＜，故h(x)在递减，在递增．(2)证明：由题意得：ax2－a＋＜＋lnx，∃x∈(1，＋∞)，ax2－a－lnx＜－.设k(x)＝，若记k1(x)＝ex－ex，则k1′(x)＝ex－e，当x＞1时，(x)＞0，k1(x)在(1，＋∞)递增，k1(x)＞k1(1)＝0，若a≤0，由于x＞1，故f(x)＜g(x)恒成立．若0＜a＜，设h(x)＝a(x2－1)－lnx，由(1)x∈时，h(x)递减，x∈时，h(x)递增，故h＜h(1)＝0，而k＞0，即存在x＝＞1，使得f(x)＜g(x)，故对任意a∈(－∞，0)，∃x∈(1，＋∞)，使得f(x)＜g(x)成立．3．(导学号14577235)(理科)(2018·湖南十三校第二次联考)设函数f(x)＝－ax.(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，求实数a的最小值；(2)若存在x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立，求实数a的取值范围．解：(1)由已知得x＞0，x≠1.因f(x)在(1，＋∞)...
