高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题32空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法.在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步找到关键的直线或平面；第三步得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥中，，分别为线段的中点，.（1）求证：平面；（2）若为上的点，且，求点平面的距离.又 ，∴面， 面∴在中是的中点，，∴ ，面，∴平面（2）由（1）知到面的距离为由等体积知： ，∴∴， ，，∴.例2、如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，．证明：平面平面；【答案】详见解析线线垂直.试题解析：因为平面平面，所以，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面．考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.设点为棱中点,在面内是否存在点,使得平面？若存在,请证明,若不存在,说明理由。【答案】存在点，为中点.平面所以平面考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.【变式演练2】【2018广西贺州桂梧高中第四次联考】如图，在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，且.（1）证明：平面平面.方法二空间向量法使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板：第一步建立适当的空间直角坐标系；第二步分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例3、在如图所示的几何体中，平面，平面，，,是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成的角.【答案】详见解析.【解析】考点：空间向量证明直线与直线的垂直；空间向量求直线与平面所成的角.【变式演练3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】详见解析.【解析】(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为.考点：运用空间向量证明直线与平面垂直；空间几何体的体积的求法.【变式演练4】已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，且平面.求的长度；【答案】【解析】试题分析：利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度.试题解析：如图所示建立空间直角坐标系，由已知，，，，.令，因为，所以，则.因为且.所以，则.即的长为.考点：利用空间向量求线段长度及线面角【高考再现】1.【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（）A．B．C．D．【答案】C2.【2017课表1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【考点】空间位置关系证明，空间几何体体积、侧（表）面积计算【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为定值，计算点面距时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出．3.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB...