课时分层训练(四十五)椭圆A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5A[由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为()【导学号：66482395】A.B．C.D．B[原方程化为＋＝1(m>0)，∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，则e2＝，∴e＝.]3．(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.－＝1B．＋＝1C.－＝1D．＋＝1D[设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1，故选D.]4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A．2B．3C．6D．8C[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)，∴OP·FP＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又 ＋＝1，∴y2＝3－x2，∴OP·FP＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2. －2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6.]5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1A[ ＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.又 过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，1∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，∴椭圆方程为＋＝1.]二、填空题6．已知椭圆的方程是＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为__________．4[ a>5，∴椭圆的焦点在x轴上． |F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2＝25＋c2＝41，则a＝.由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，∴△ABF2的周长为4a＝4.]7．(2017·湖南长沙一中月考)如图853，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________.图853【导学号：66482396】＋＝1[设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a. ∠OFB＝，∴＝，a＝2b.∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，解得b2＝2，则a＝2b＝2.∴所求椭圆的方程为＋＝1.]8．(2016·江苏高考)如图854，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.图854[将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，所以x＝±a，故B，C.又因为F(c,0)，所以BF＝，CF＝.因为∠BFC＝90°，所以BF·CF＝0，所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]2三、解答题9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值.【导学号：66482397】[解](1)由题意，得解得3分∴椭圆C的方程为＋＝1.5分(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，Δ＝96－8m2>0，∴－2b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.[解](1)由题设条件知，点M的坐标为，2分又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.5分(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得NM＝.8分又AB＝(－a，b)，从而有AB·NM＝－a2＋b2＝(5b2－a2).10分由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l...
