课时跟踪检测（二十三）同角三角函数的基本关系一、基本能力达标1．下列结论中成立的是()A．sinα＝且cosα＝B．tanα＝2且＝C．tanα＝1且cosα＝±D．sinα＝1且tanα·cosα＝1解析：选CA中，sin2α＋cos2α＝≠1，故不成立；B中，＝，即tanα＝3，与tanα＝2矛盾，故不成立；D中，sinα＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tanα无意义，故不成立．2．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是()A．－B.C.D．－解析：选A∵α∈，∴sinα＜0.由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于()A．－1B．0C．1D．2解析：选C原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.4．若cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.B．－C.D．－解析：选Bcos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝，tan80°＝，tan100°＝－tan80°＝－.5．若△ABC的内角A满足sinAcosA＝，则sinA＋cosA的值为()A.B．－C.D．－解析：选A因为sinAcosA＝＞0，所以内角A为锐角，所以sinA＋cosA＝＝＝.6．若sinθ＝－，tanθ＞0，则cosθ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cosθ＝－＝－＝－.答案：－7．化简：＝________________.解析：原式＝＝＝|cos20°－sin20°|＝cos20°－sin20°.答案：cos20°－sin20°8．若sinα＋cosα＝，则tanα＋的值为________．解析：∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝2，即sinαcosα＝，∴tanα＋＝＋＝＝2.答案：29．化简：tanα(cosα－sinα)＋·(sinα＋tanα)．解：原式＝(cosα－sinα)＋＝sinα－＋＝sinα－＋＝sinα.10．已知tanα＝2，求下列各式的值：(1)；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.解：(1)＝＝＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝，这时分子和分母均为关于sinα，cosα的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝＝＝1.层级二应试能力达标1．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcosθ的值为()A.B．－C.D．－解析：选A由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθcosθ＝.2．已知＝2，则sinθcosθ的值是()A.B．±C.D．－解析：选C由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝＝＝＝.3．若＝，则x的取值范围是()A．2kπ≤x≤2kπ＋，k∈ZB．2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈ZC．2kπ＋＜x＜(2k＋1)π，k∈ZD．(2k＋1)π＜x＜2kπ＋，k∈Z解析：选B＝＝，又＝故＝－，从而有cosx＜0，故选B.4．已知sinα，cosα是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根，且α∈R，则sin3α＋cos3α＝()A．－1－B．－1＋C．－2＋D．2－解析：选C∵sin2α＋cos2α＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝a2－2a＝1，∴a＝1－或a＝1＋，∴sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)＝a(1－a)＝－2＋(舍去－2－)．5．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.解析：∵角α的终边落在直线y＝－x上，∴角α的终边可能在第二或第四象限，则＋＝＋＝答案：06．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2.答案：27．已知sinθ＋cosθ＝－，(1)求＋的值；(2)求tanθ的值．解：(1)因为sinθ＋cosθ＝－，所以1＋2sinθcosθ＝，sinθcosθ＝－，所以＋＝＝.(2)由(1)得＝－，所以＝－，即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0，所以tanθ＝－3或tanθ＝－.8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sinθ和cosθ，θ∈.(1)求＋的值；(2)求实数m的值．解：(1)由题意，得所以＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.(2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝，将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝，由(1)，知＝，所以m＝.
