专题08三角恒等变换与解三角形三角恒等变换及求值1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;(2)cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;(3)tan(α±β)=.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=2sinαcosα;(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;(3)tan2α=.(1)已知α∈,tanα=2,则cos=__________.(2)若tan(α-)=,则tanα=________.(3)(2019·洛阳第一次统考)若sin(-α)=,则cos(+2α)=________.【答案】(1)(2)(3)-【解析】(1)因为α∈(0,),tanα=2,所以sinα=,cosα=,所以cos(α-)=cosαcos+sinαsin=×(+)=.(2)因为tan(α-)=,所以tanα=tan[(α-)+]===.(3)依题意得cos(+2α)=-cos[π-(+2α)]=-cos[2(-α)]=2sin2(-α)-1=2×()2-1=-.三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦.【对点训练】1.计算=________(用数字作答).【答案】:【解析】:====.2.(2019·合肥模拟)若α∈(0,),cos(-α)=2cos2α,则sin2α=________.【答案】:正、余弦定理在解三角形中的应用考向1求解三角形中的角1.正弦定理及其变形在△ABC中,===2R(R为△ABC的外接圆半径).变形:a=2RsinA,sinA=,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.【解析】:(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4.所以b=2.解三角形的创新交汇问题以三角恒等变换、正、余弦定理为解题工具,常与三角函数、向量、不等式等交汇命题,且三种题型均可能出现.(2019洛阳第一次统考)如图,平面四边形ABDC中,∠CAD=∠BAD=30°.(1)若∠ABC=75°,AB=10,且AC∥BD,求CD的长;(2)若BC=10,求AC+AB的取值范围.【解析】(1)由已知,易得∠ACB=45°,在△ABC中,=⇒BC=5.因为AC∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,所以DB=AB=10.在△BCD中,CD==5.(2)AC+AB>BC=10,cos60°=⇒(AB+AC)2-100=3AB·AC,而AB·AC≤()2,所以≤()2,解得AB+AC≤20,故AB+AC的取值范围为(10,20].与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化.(2)结合内角和定理、面积公式等,灵活运用三角恒等变换公式.【对点训练】(2017·高考山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和a.【解析】:因为AB·AC=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0