章末质量检测(一)平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.答案：C2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB＋2BC等于()A．5B．(－1,5)C．(6,1)D．(－4,9)解析：AB＝(2,3)，BC＝(－3,3)，∴AB＋2BC＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．答案：D3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.解析：因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：C4．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：AB∥BC，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故选B.答案：B5．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为()A．(4,0)，(－2,6)B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3)D．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，解得答案：C6．若a＝(5，x)，|a|＝13，则x＝()A．±5B．±10C．±12D．±13解析：由题意得|a|＝＝13，所以52＋x2＝132，解得x＝±12.答案：C7．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．50mB．50mC．25mD.m解析：由正弦定理得AB＝＝＝50(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD和点O，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形解析：由题意知a－b＝d－c，∴BA＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故选D.答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v1|－|v2|.答案：C10．已知O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量AB＝(－1,1)，则(OA＋OB)·(OA－OB)等于()A．－4B．－2C．0D．2解析：因为O为坐标原点，点A的坐标为(2,1)，向量AB＝(－1,1)，所以OB＝OA＋AB＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)，所以(OA＋OB)·(OA－OB)＝OA2－OB2＝(22＋12)－(12＋22)＝5－5＝0.故选C.答案：C11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析： ＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝. A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．答案：C12．在△ABC中，若|AB|＝1，|AC|＝，|AB＋AC|＝|BC|，则＝()A．－B．－C.D.解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB＋AC|＝|BC|时，∠A＝90°.又|AB|＝1，|AC|＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，|BC|＝2，所以＝＝－.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与是共线向量，则m＝________.解析： A，B，C不共线，∴AB与BC不共线．又m与AB，BC都共线，∴m＝0.答案：014．若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________.解析：方法一：设OB＝(x，y)，由|OA|＝|OB|知＝，又OA·OB＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|AB|＝2；当x＝－3，y＝－1时，|AB|＝2.故|AB|＝2.方法二：由几何意义知，|AB|就是以OA，OB为邻边的正方形的对角线长，又|OA|＝，所以|AB|＝×＝2.答案：215．给出以下命题：①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N，则...
