4.1.1利用函数性质判定方程解的存在[A.基础达标]1．方程x3＋3x－1＝0在以下哪个区间内一定存在实根()A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)解析：选B.令f(x)＝x3＋3x－1，其图像在R上连续且是递增的，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝3>0，故选B.2．在区间(0，1)上不存在零点的函数是()A．f(x)＝－2B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝ex－2D．f(x)＝lnx＋2解析：选B.令f(x)＝0得x3－2x＝0，即x(x2－2)＝0，所以x＝0，x＝±，故选B.3．如果函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，－C．0，D．2，解析：选B.因为函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，即2a＋b＝0，所以b＝－2a.所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．故函数g(x)有两个零点0，－.4．函数y＝ax2－4x＋2只有一个零点，则实数a的值为()A．0B．2C．0或2D．1解析：选C.当a＝0时，y＝－4x＋2，由－4x＋2＝0得x＝，故函数有唯一零点，a＝0成立；当a≠0时，二次函数y＝ax2－4x＋2有唯一零点，则有Δ＝16－8a＝0，得a＝2.综上，a＝0或a＝2.5．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f·f＜0，则方程f(x)＝0在[－1，1]内()A．可能有3个实数根B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：选C.由f·f＜0，可知f(x)在内存在零点，又因为f(x)在[－1，1]上是递增的，所以f(x)在[－1，1]内有唯一零点，即f(x)＝0在[－1，1]上有唯一实根．6．函数f(x)＝的零点是________．解析：令f(x)＝0，即＝0，可得x－1＝0或lnx＝0，解得x＝1，故f(x)的零点是1.答案：17．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x实数解的个数为________．解析：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得：b＝4，c＝2，故f(x)＝当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2；当x＞0时，2＝x，即x＝2.以上3解均满足要求．答案：38．若方程ax－x－a＝0有两个实数解，则a的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝ax与函数y＝x＋a的图像，由图像可知当a>1时，它们有2个交点，即方程ax－x－a＝0有两个实数解．当0
3；若方程的两个根中有一个等于－1，由根与系数关系知另一根必为－2，所以－＝－1－2，所以＝3.综上，方程至少有一实根小于－1时，≥2.[B.能力提升]1．已知a是函数f(x)＝3x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＜0B．f(x0)＞0C．f(x0)＝0D．f(x0)的符号不确定解析：选A.因为f(x)＝3x－logx＝3x＋log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上是递增的．又因为0＜x0＜a，所以f(x0)＜f(a)＝0.故选A.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f[f(x)]＝xf(x)＋1，则方程f(x)＝0的实根个数为()A．0B．1C．2D．4解析：选A.假设x0是f(x)的零点，则f(x0)＝0，当x＝x0时，f[f(x0)]＝f(0)＝x0f(x0)＋1＝x0·0＋1，可得f(0)＝1；当x＝0时，f[f(0)]＝f(1)＝0×f(0)＋1＝1，即f(1)＝1；当x＝1时，f[f(1)]＝f(1)＝1×f(1)＋1，即f(1)＝f(1)＋1，0＝1矛盾．故假设错误，因此该函数无零点．3．已知符号...
