12．1坐标系[基础送分提速狂刷练]1．(2018·延庆县期末)在极坐标方程中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是()A．ρsinθ＝2B．ρcosθ＝2C．ρcosθ＝4D．ρcosθ＝－4答案B解析ρ＝4sinθ的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，选项B：ρcosθ＝2的普通方程为x＝2.圆x2＋(y－2)2＝4与直线x＝2显然相切．故选B.2．(2017·渭滨区月考)在极坐标系中，A，B，C，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形答案C解析B，∴OA＝5，OB＝8，OC＝3，∴∠AOB＝－＝，∠BOC＝－＝，∠AOC＝－＝，在△AOB中，由余弦定理可得AB＝＝7，同理可得，BC＝＝7，AC＝＝7，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形．故选C.3．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.(1)求O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得解得1即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为.4．(2018·郑州模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，所以ρ0cos＝1，②将①代入②，得cos＝1，即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．5．(2017·湖北模拟)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．(1)求a；(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．解(1)曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，变形ρ2＝2aρcosθ，化为x2＋y2＝2ax，即(x－a)2＋y2＝a2.∴曲线C是以(a,0)为圆心，a为半径的圆．由l：ρcos＝，展开为ρcosθ＋ρsinθ＝，∴l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.由题可知直线l与圆C相切，即＝a，解得a＝1.(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cos，当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.6．(2018·沈阳模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在圆C上，求x＋y的最大值和最小值．解(1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得ρ2－4ρ＋6＝0，即ρ2－4ρ＋6＝0，ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0，即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，令x－2＝cosα，y－2＝sinα.得圆的参数方程为(α为参数)．(2)由(1)得，x＋y＝4＋(cosα＋sinα)＝4＋2sin，∴当sin＝1时，x＋y的最大值为6，当sin＝－1时，x＋y的最小值为2.故x＋y的最大值和最小值分别是6和2.2
