第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线－＝1的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：在双曲线－＝1中，a＝5，b＝2，而其渐近线方程为y＝±x，∴其渐近线方程为y＝±x，故选D.答案：D2．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A．2B．2C．8D．2解析：根据已知条件得c＝，则点在椭圆＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2.答案：B3．(2018·张掖模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D．3解析：双曲线－＝1的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，则圆心(0,2)到直线bx－ay＝0的距离为1，所以＝1，即＝1，所以双曲线的离心率e＝＝2，故选C.答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝.答案：A5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为4，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：易知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.答案：A6．(2018·长春模拟)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝()A．1B．2C．4D.解析：不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是∠F1PF2的平分线又垂直于F1M，故△PF1M为等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H为F1M的中点，所以OH为△MF1F2的中位线，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.故选A.答案：A7．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B．2C.D．2解析：由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2，故选D.答案：D8．(2018·石家庄一模)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，有下列直线：①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：易知直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.选C.答案：C9．(2018·洛阳模拟)设双曲线C：－＝1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为()A.B.C.D．无法确定解析：双曲线C：－＝1中，a＝4，b＝3，c＝5，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设M在直线y＝x上，N在直线y＝－x上，则直线MF的斜率为－，其方程为y＝－(x－5)，设M(t，t)，代入直线MF的方程，得t＝－(t－5)，解得t＝，即M(，)．由对称性可得N(，－)，所以直线MN的方程为x＝.设P(m，n)，则d＝|m－|，－＝1，即n2＝(m2－16)，则|PF|＝＝|5m－16|.故＝＝，故选B.答案：B10．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．8解析：由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1,2)，N为(4,4)．又 抛物线焦点为F(1,0)，∴FM＝(0,2)，FN＝(3,4)，∴FM·FN＝0×3＋2×4＝8.故选D.答案：D11．(2018·广西五校联考)已知点F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若MF1·NF1＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(，＋1)B．(1，＋1)C．(1，)D．(，＋∞)解析：设F1(－c,0)，F2(c,0)，依题意可得－＝1，...
