课时作业11函数与方程一、选择题1．函数f(x)＝的零点个数是(D)A．0B．1C．2D．3解析：当x>0时，令f(x)＝0可得x＝1；当x≤0时，令f(x)＝0可得x＝－2或x＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.2．方程ln(x＋1)－＝0(x>0)的根存在的大致区间是(B)A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)解析：令f(x)＝ln(x＋1)－，则f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.3．已知函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(C)A．(－1，－log32)B．(0，log52)C．(log32,1)D．(1，log34)解析： 单调函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32
0)的解的个数是(B)A．1B．2C．3D．4解析： a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图所示，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点，即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是2.5．(2019·广东七校联合体联考)若函数f(x)＝2x＋a2x－2a的零点在区间(0,1)上，则实数a的取值范围是(C)A.B．(－∞，1)C.D．(1，＋∞)解析：易知函数f(x)的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f(0)f(1)＝(1－2a)(2＋a2－2a)<0，解得a>.6．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为(C)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，0)∪{1}解析：由题意，显然x＝1是函数f(x)的一个零点，取a＝－1，则f(x)＝lnx＋x2－x，f′(x)＝＝>0恒成立．则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、D；取a＝1，则f(x)＝lnx－x2＋x，f′(x)＝＝，f′(x)＝0得x＝1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.二、填空题7．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为2.解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是.解析： f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知∴∴f(x)＝x2－x－6. 不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，解集为.9．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为3.解析：解法1：当x>1时，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2为函数f(x)在区间(1，＋∞)上的一个零点；当x≤1时， f(x)＝x3－3x＋1，∴f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝1， 当x<－1时，f′(x)>0，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，∴x＝－1为函数f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的极大值点， f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，且当x→－∞时，f(x)→－∞，∴函数f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有两个不同的零点．综上，函数f(x)的零点个数为3.解法2：当x>1时，作出函数y＝log2(x－1)的图象如图1所示，当x≤1时，由f(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y＝x3和y＝3x－1的图象如图2所示，由图1,2可知函数f(x)的零点个数为3.10．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2015x＋log2015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为3.解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2015x＋log2015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数f(x)在R上的零点个数为3.三、解答题11．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.证明：令g(x)＝f(x)－x. g(0)＝，g＝f－＝－，∴g(0)·g<0.又函数g(x)在上是连续曲线，∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.12．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．解：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.①当－≤－1，即0时，须使即解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．13．(2019·惠州市调研考试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时...
