2011届高三二轮专题复习之八数学思想方法（分类讨论法）一、知点透析在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称它为“分类讨论的思想”．分类讨论本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略．引起分类讨论原因，通常有以下几种：①涉及的数学概念是分类定义的（如的定义）；②公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制（如等比数列的前项和公式）；③几何图形中点、线、面的相对位置不确定；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；⑤数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果．分类讨论的一般步骤是：（1）确定讨论对象和确定研究的全域；（2）进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果．分类时，应不重复，不遗漏；（3）逐类讨论；（4）归纳小结，整合得出结论．二、初露锋芒1.设xxaBxaxABBa||010，，且，则实数的值为（D）A.1B.1C.D.2．一条直线过点（5，2），且在轴，轴上截距相等，则这条直线方程为（C）A.xy70B.250xyC.xyxy70250或D.xyyx70250或3．函数fxmxmx()()231的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围为（B）A.0，B.，1C.01，D.（，）014．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积是(D)A.或B.C.D.或三、例题精讲问题1由概念的定义引起的分类讨论例1已知函数，则的值域是（）.A.B.C.D.【解析】即等价于，故选择答案C。问题2由公式、定理的应用条件引起的分类讨论用心爱心专心1例2设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，3…）．（1）求q的取值范围；（2）设bn=an+2－an+1，｛bn｝的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．【解析】（1）因为｛an｝是等比数列，Sn＞0，可得a1=S1＞0，q≠0，当q=1时，Sn=na1＞0，当q≠1时，Sn=＞0，即＞0（n=1，2，3，…），则有①或②由②得q＞1，由①得－1＜q＜1．故q的取值范围是（－1，0）∪（0，+∞）．（2）由bn=an+2－an+1=an（q2－q），∴Tn=（q2－q）Sn，于是Tn－Sn=Sn（q2－q－1）=Sn（q+）（q－2），又Sn＞0且－1＜q＜0或q＞0，则当－1＜q＜－或q＞2时，Tn－Sn＞0，即Tn＞Sn，当－＜q＜2且q≠0时，Tn－Sn＜0，即Tn＜Sn，当q=－或q=2时，Tn－Sn=0，即Tn=Sn．问题3由参数的取值引起的分类讨论例3设，其中，且函数的定义域为，求该函数的单调递减区间.【解析】由题意可知在上恒成立，故，解得又当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为；当时，无单调递减区间。问题4由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论例4在约束条件下，当时，的最大值的变化范围是()用心爱心专心2xyxys24yxOA.B.C.D.解：由交点为，(1)当时可行域是四边形OABC，此时，(2)当时可行域是△OA此时，故选D.四、临阵磨枪1.若，且AR，则实数的取值范围是（D）A.p2B.p2C.p2D.p42．曲线与曲线的（A）A.焦距相等B.离心率相等C.焦点相同D.准线相同3．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．上述命题中，正确命题的个数是（D）A.0B.1C.2D.34．函数的图象大致是（D）用心爱心专心31l2lOM（，）xyxys24yxO5．已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（C）A.B.C.D.46．将棱长为1的四个正方体拼成一个长方体，此长方体的八个顶点在同一个球面上，则此球的表面积的最大值为__________________.7.若loga231，...
