高考大题专项练三高考中的数列1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,Sn+1=3Sn+3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.3.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N+.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求+…+.4.已知数列{an}的首项a1=,an+1=(n∈N+).(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和Sn.5.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{an}是等差数列.6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求an;(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn>(n∈N+).7.已知正项数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足an=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,不等式4Tn
.7.解(1)因为an=,所以Sn-Sn-1=,即=1,所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,所以an==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-1.(2)因为,所以Tn=+…+.所以Tn<.要使不等式4Tn0,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.∴a1=-1,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7,解得d=-2,q=2.∴an=-1-2(n-1)=1-2n,bn=2n.(2)cn=①当n=2k(k∈N+)时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)=2k++…+,令Ak=+…+,∴Ak=+…+,∴Ak=+4+…++4×,可得Ak=.∴Tn=T2k=2k+.②当n=2k-1(k∈N+)时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k-2+a2k-1=2(k-1)++2=2k+.∴Tn=k∈N+.
