限时规范训练一三角函数图象与性质(建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)若0＜α＜，且sinα＝，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)因为0＜α＜，sinα＝，所以cosα＝.所以f(α)＝－＝.(2)因为f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.2．已知向量a＝(cosx，sinx)，向量b＝(cosx，－sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数g(x)＝f(x)＋sin2x的最小正周期和对称轴方程；(2)若x是第一象限角且3f(x)＝－2f′(x)，求tan的值．解：(1)∵g(x)＝f(x)＋sin2x＝cos2x－sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝sin，∴函数g(x)＝f(x)＋sin2x最小正周期T＝＝π.当2x＋＝＋kπ(k∈Z)时，x＝＋.∴函数g(x)＝f(x)＋sin2x的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)由3f(x)＝－2f′(x)，得3cos2x＝4sin2x.3cos2x－3sin2x－8sinxcosx＝0.(3cosx＋sinx)(cosx－3sinx)＝0.又x是第一象限角，∴cosx＝3sinx，故tanx＝.∴tan＝＝＝2.3．(2016·山东枣庄质检)已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω＞0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数f(x)的单调递增区间．解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＋sinωx－cosωx－(cosωx＋1)＝2－1＝2sin－1.由－1≤sin≤1，得－3≤2sin－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin－1，再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈(－1,2)时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．解：(1)由条件知cos∠POQ＝＝，所以P(1,2)．由此可得A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，则ω＝.将点P(1,2)代入f(x)＝2sin，得sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋(k∈Z)．因为0＜φ＜，所以φ＝，于是f(x)＝2sin.(2)由题意得g(x)＝2sin＝2sinx.所以h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sinx＝2sin2x＋2sinx·cosx＝1－cosx＋sinx＝1＋2sin.当x∈(－1,2)时，x－∈，所以sin∈(－1,1),即1＋2sin∈(－1,3)．于是函数h(x)的值域为(－1,3)．
