第1讲等差数列与等比数列一、选择题1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：由S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，又a10＝8，因此公差d＝＝1，所以a100＝a10＋90d＝98.答案：C2．(2017·淮北二模)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为()A．－B．－2C．－D．－解析：由题意，设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a(a≠0)．则＝＝－.答案：C3．(2017·唐山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－4，S6＝6，则S5＝()A．－1B．0C．－2D．4解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝－4，S6＝6，所以4a1＋d＝－4，且6a1＋d＝6，解得a1＝－4，d＝2.则S5＝5×(－4)＋×2＝0.答案：B4．(2017·湖南三湘名校联明三模)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层与底层共有()A．3盏灯B．192盏灯C．195盏灯D．200盏灯解析：由题意设顶层的灯盏数为a1，从顶层到底层的灯的盏数构成以a1为首项，以2为公比的等比数列．则有S7＝＝381，解得a1＝3，所以a7＝a1×26＝3×26＝192，所以a1＋a7＝195.答案：C5．(2017·衡阳八中、长郡中学等十三校二模)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为()(导学号55410112)A．3B．3或4C．4D．5解析：由题意知由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，所以＝＝－3＋n－1＝n－4.由n－4≥0，得n≥4.且＝0.所以数列的前n项和取最小值时的n的值为3或4.答案：B二、填空题6．(2017·河源调研)等差数列{an}中的a1，a4033是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－1的极值点，则log2a2017＝________．解析：因为f′(x)＝x2－8x＋6，依题意，a1，a4033是方程f′(x)＝x2－8x＋6＝0的两根．所以a1＋a4033＝8，则a2017＝4.所以log2a2017＝log24＝2.答案：27．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________．解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，则解得所以a8＝a1q7＝×27＝32.答案：328．(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．解：因为an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，所以Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以数列是公比为3的等比数列，所以＝3.又S2＝4，所以S1＝1，所以a1＝1，所以S5＋＝×34＝×34＝，所以S5＝121.答案：1121三、解答题9．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，令n＝1，得a2＝，令n＝2，得a－(2a3－1)a2－2a3＝0，则a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)，因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.10．(2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．(导学号55410113)(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；(2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．证明：(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1，2，3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差数列{an}是“P(3)数列”．(2)数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n≥3时，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，①当n≥4时，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an.②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)．④将③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥...
