考查角度1立体几何中的平行与垂直的证明分类透析一证明平行关系例1如图,在菱形ABCD中,∠BAD=π3,ED⊥平面ABCD,EF∥DB,M是线段AE的中点,DE=EF=12AD=2.(1)证明:DM∥平面CEF.(2)求多面体ABCDEF的表面积.分析(1)连接AC,设AC,BD的交点为O,连接MO,可证平面MOD∥平面CEF,从而DM∥平面CEF;(2)先判断各个面的形状,找出垂直关系,求出各边的长度,再计算表面积.解析(1)连接AC,设AC与BD的交点为O,连接MO. DO∥EF,DO⊄平面CEF,∴DO∥平面CEF. M是线段AE的中点,O为AC的中点,∴MO是△ACE的中位线,∴MO∥EC.又MO⊄平面CEF,∴MO∥平面CEF.又MO∩DO=O,∴平面MDO∥平面CEF.又DM⊂平面MDO,∴DM∥平面CEF.(2)连接FO,由菱形ABCD可得AC⊥BD. ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴ED⊥AC.又BD∩ED=D,∴AC⊥平面EDBF.又OF⊂平面EDBF,∴AC⊥OF. EF∥DO,且EF=DO,ED⊥DO,ED=DO,∴四边形EDOF为正方形,ED=DO=OF=FE=2.在Rt△ADE和Rt△CDE中, AD=CD=4,DE=2,∴AE=EC=2❑√5,∴S△ADE=S△CDE=4.在Rt△AOF和Rt△COF中, AO=CO=2❑√3,OF=2,AF=CF=4,∴△AEF和△CEF是直角三角形,∴S△AEF=S△CEF=4. 四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=DA=4,SABCD=8❑√3.又AF=CF=AB=CB=4,FB=2❑√2,∴S△AFB=S△CFB=2❑√7.∴多面体ABCDEF的表面积为4×2+4×2+2❑√7×2+8❑√3=16+4❑√7+8❑√3.方法技巧证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两条直线平行.②利用面面平行的性质,即两个平面平行,在其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.分类透析二证明垂直关系例2如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°.(1)证明:PB⊥BC.(2)若平面PAD⊥底面ABCD,E为线段PD上的点,且PE=2ED,求三棱锥P-ABE的体积.分析(1)设AD的中点为O,通过证线面垂直得到线线垂直;(2)进行等价转化,寻找三棱锥P-ABE的体积与三棱锥B-PAD的体积间的关系,然后求出三棱锥B-PAD的体积,最后得到三棱锥P-ABE的体积.解析(1)如图,设AD的中点为O,连接PO,BO. PA=PD,∴PO⊥AD. 四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴OB⊥AD,OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB.又AD∥BC,∴BC⊥平面POB. PB⊂平面POB,∴PB⊥BC.(2)连接BD,由题知VP-ABE=VB-PAE=23VB-PAD. 平面PAD⊥底面ABCD,∴OP,OA,OB两两垂直且OP=OB=❑√3.则VB-PAD=13×12×2×❑√3×❑√3=1,故VP-ABE=23VB-PAD=23.方法技巧有关空间中垂直关系的证明:主要用到线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化,再结合题意进行推理或证明完成,有些题目需要添加一些辅助线.分类透析三平行关系和垂直关系的综合应用例3如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥平面PAC,∠APC=90°,E是AB的中点,M是CE的中点,点N在PB上,且4PN=PB.证明:(1)平面PCE⊥平面PAB;(2)MN∥平面PAC.分析先证明直线PC⊥平面PAB,再证平面PCE⊥平面PAB;(2)设AE的中点为Q,连接MQ,NQ,证明平面MNQ∥平面PAC,从而MN∥平面PAC.解析(1) AB⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,∴AB⊥PC. ∠APC=90°,∴AP⊥PC.又AP⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,AP∩AB=A,∴PC⊥平面PAB. PC⊂平面PCE,∴平面PCE⊥平面PAB.(2)取AE的中点Q,连接NQ,MQ. M是CE的中点,∴MQ∥AC. PB=4PN,AB=4AQ,∴QN∥AP.又AP∩AC=A,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,QN∩QM=Q,QN⊂平面MNQ,QM⊂平面MNQ,∴平面MNQ∥平面PAC. MN⊂平面MNQ,∴MN∥平面PAC.例4如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,BE=❑√3.(1)证明:平面ACD⊥平面ADE.(2)记AC=x,V(x)表示三棱锥A-CBE的体积,求V(x)的最大值.分析(1)要证平面ACD⊥平面ADE,只需证明DE⊥平面ADC,由已知可证明DC⊥BC,BC⊥AC,从而得证;(2)先利用体积公式求出V(x)关于x的解析式,再利用不等式求出最值.解析(1) 四边形DCBE为平行四边形,∴CD∥BE,BC∥DE. DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC. AB是圆O的直径,∴BC⊥AC.又DC∩AC=C,∴BC⊥平面ADC. DE∥BC,∴DE⊥平面ADC.又 DE⊂平面ADE,∴平面ACD⊥平面ADE.(2)在Rt△ABC中, BC=❑√AB2-AC2=❑√4-x2(0
