单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018河北衡水中学金卷一模,1)已知集合M={x|x2-2x-3≤0},N={y|y=3-cosx},则M∩N=()A.[2,3]B.[1,2]C.[2,3)D.⌀2.(2018河南商丘一中月考)已知P(-,n)为角β的终边上的一点,且sinβ=,则n的值为()A.±B.C.-D.±23.(2018陕西西安一模)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()A.B.C.-D.-4.(2018湖南长沙一模,3)函数f(x)=sin(ωx+φ)(φ>0,0<φ<π)的图像中相邻两对称轴的距离为,若角φ的终边经过点(3,),则f的值为()A.B.C.2D.25.(2018山东济宁一模,7)将函数f(x)=2sin-1的图像向右平移个单位长度,再把所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像,则图像y=g(x)的一个对称中心为()A.B.C.D.6.(2018河南郑州三模,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,b=4,则△ABC面积的最大值为()A.4B.2C.3D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018重庆5月调研,14)函数f(x)=2cos2x+sinxcosx-1的最大值是.8.(2018河北衡水中学押题二,13)在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asinB=b,则cos=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018北京朝阳模拟,15)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥0.10.(15分)(2018山西太原一模,17)△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角B;(2)若b=,求△ABC面积的最大值.11.(15分)(2018山东潍坊一模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+2c)cosB+bcosA=0.(1)求B;(2)若b=3,△ABC的周长为3+2,求△ABC的面积.单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.A集合M={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3],N={y|y=3-cosx}=[2,4],则M∩N=[2,3],故选A.2.B由题意可得|OP|=,∴sinβ=,∴n=±.又∵sinβ=,∴n>0,∴n=.3.C∵sinα+2cosα=,∴sin2α+4sinα·cosα+4cos2α=.用降幂公式化简得4sin2α=-3cos2α,∴tan2α==-.故选C.4.A由题意,得T=2×=π,∴ω=2.∵tanφ=,∴φ=,∴f(x)=sin.f=sin.5.C将函数f(x)=2sin-1的图像向右平移个单位,再把所有的点的横坐标缩短到原来的,得函数表达式为f(x)=2sin-1,令2x-=kπ,k∈Z,求得x=kπ+,得y=g(x)的一个对称中心为,故选C.6.A∵在△ABC中,,∴(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,得cosB=,即B=,由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac,∴ac≤16,当且仅当a=c时取等号,∴△ABC的面积S=acsinB=ac≤4.7.f(x)=2cos2x+sinxcosx-1=cos2x+sin2x=sin(2x+φ),其中tanφ=2,所以f(x)的最大值为.8.-由正弦定理得2sinAsinB=sinB,∵sinB≠0,∴sinA=.A为锐角,∴A=,∴原式=cos=-sin=-,故答案为-.9.解(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=sin+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)可知,f(x)=sin+1.当x∈时,2x-,sin,sin+1∈[0,+1].当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值0.所以当x∈时,f(x)≥0.10.解(1)利用正弦定理,得=1+,即sin(B+C)=cosCsinB+sinCsinB,∴sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB+sinCsinB,∴cosBsinC=sinCsinB,又sinB≠0,∴tanB=1,B=.(2)由(1)得B=,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accosB,则有2=a2+c2-ac,即有2+ac=a2+c2,又由a2+c2≥2ac,则有2+ac≥2ac,变形可得:ac≤=2+,则S=acsinB=ac≤.即△ABC面积的最大值为.11.解∵(a+2c)cosB+bcosA=0,∴(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,sin(A+B)+2sinCcosB=0,∵sin(A+B)=sinC,∴cosB=-,∵0
