课时分层作业(二十一)幂函数(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于()A.B．1C.D．2A[ 幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，∴k＝1，f＝α＝，即α＝－，∴k＋α＝.]2.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1B[因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]3．幂函数的图象过点(3,)，则它的单调递增区间是()A．[－1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)B[设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3,)，所以f(3)＝3α＝＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3A[当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当α＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.]5．幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是()A．(－2，＋∞)B．[－1，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，－2)C[由题意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f(x)＝x2.所以二次函数f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．]二、填空题6．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点，则f(6)＝________.[依题意＝()m＝3，所以＝－1，m＝－2，所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝.]7．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.－1[ f(x)＝(m2－m－1)x2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．综上可知，m＝－1.]8．若幂函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1.③[由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③.]三、解答题9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．[解](1)若函数f(x)为正比例函数，则∴m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则∴m＝－1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.10．已知幂函数y＝f(x)经过点.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[解](1)由题意，得f(2)＝2α＝，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.(2) f(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，∴该幂函数为奇函数．当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数， 函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[等级过关练]1．函数y＝x－2在区间上的最大值是()A.B．－1C．4D．－4C[函数y＝x－2在区间上为减函数，所以当x＝时有最大值4.]2．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f>(x1>x2>0)的函数的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个A[①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f＝；②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<；④函数f(x)＝的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f>；⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，f<.故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，f>.故选A.]3．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于________．1[ 幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m...
