命题角度4.3：空间位置关系证明与二面角求解1.如图所示，已知三棱柱中，，，．（1）求证：；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析:（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几知识，如利用等腰三角形性质得底边上中线垂直底面得线线垂直，（2）一般利用空间向量数量积求二面角大小，先根据条件确定恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角余弦值，最后根据法向量夹角与二面角关系确定二面角的余弦值.（2） 为等边三角形，，∴， 在中，，，为中点，∴， ，，∴，∴，又，∴平面．以为原点，，，方向为，，轴的正向，建立如图所示的坐标系，，，，，则，则，，，则平面的一个法向量，设为平面的法向量，则令，∴，∴，∴．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.2.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证线面平行，则需在平面中找一线与之平行即可，所以连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，故从而的证明（2）求解二面角时则通过建立坐标系求两面的法向量，再利用向量的数量积公式求解即可试题解析：解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，，故.又平面平面平面.(2)平面平面与均为正三角形，延长交的中点，连接平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，，，设，可得，设平面的一个法向量为，由，令，得，同理可得平面的一个法向量，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.点睛：证线面平行首先要明确和熟悉其判定定理，在面内找一线与一直线平行即可，求面面角时则通常经过建立直角坐标系，求出两面的法向量，再通过向量夹角公式计算即可3.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析;（2）．【解析】试题分析：证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角可采用建立空间直角坐标系，借助法向量求解，本题需要设，根据条件求出，再利用法向量求出二面角的余弦.试题解析：（1）证明： ，为的中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面又平面，∴．又，，∴面．则由余弦定理得．，设与交于点，则，，而，则．于是，即，∴或（舍）容易求得：，而．故，由面面，则面，过作于，连，则为二面角的平面角，由平面几何知识易得，．∴．方法二：以点为原点，为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，．∴，．由，得，∴，则，，于是，， ，不妨设平面的法向量，则，故二面角的余弦值为．【点睛】证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角的方法有两种，传统方法为“作、证、求”，用空间向量，借助法向量更容易一些.4.如图，在梯形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段（含端点）上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）由，可得.由可得.从而平面（2）分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，令().平面的一个法向量=(1,,),=(1,0,0)是平面的一个法向量. ,∴当时，有最小值.试题解析：(I)在梯形中， ，设，又 ,∴，∴∴∴. ，，∴，而，∴ ∴.(II)由(I)可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，设，令(),则(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，∴=(-，1，0)，=(，-1，1)，设为平面的一个法向量，由得取,则=(1,,), =(1,0,0)是平面的一个法向量,∴ ,∴当时，有最小值，∴点与点...
