第1讲变化率与导数、导数的计算1．(2019·四川成都模拟)曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是()A．y＝－πx＋π2B．y＝πx＋π2C．y＝－πx－π2D．y＝πx－π2解析：选A.因为y＝f(x)＝xsinx，所以f′(x)＝sinx＋xcosx，在点P(π，0)处的切线斜率为k＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是y＝－π(x－π)＝－πx＋π2.故选A.2．已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0解析：选B.f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.3.函数g(x)＝x3＋x2＋3lnx＋b(b∈R)在x＝1处的切线过点(0，－5)，则b的值为()A.B.C.D.解析：选B.当x＝1时，g(1)＝1＋＋b＝＋b，又g′(x)＝3x2＋5x＋，所以切线斜率k＝g′(1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y＝11x－5，由于点在切线上，所以＋b＝11－5，解之得b＝.故选B.4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．3D．4解析：选B.由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.5．(2019·广州市综合测试(一))设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0，0)B．(1，－1)C．(－1，1)D．(1，－1)或(－1，1)解析：选D.由题易知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且，解得a＝±2，x0＝－.所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1，1)，故选D.6．若f(x)＝(x2＋2x－1)e2－x，则f′(x)＝________．解析：f′(x)＝(x2＋2x－1)′e2－x＋(x2＋2x－1)(e2－x)′＝(2x＋2)e2－x＋(x2＋2x－1)·(－e2－x)＝(3－x2)e2－x.答案：(3－x2)e2－x7．(2019·昆明市教学质量检测)若函数f(x)＝cos(ωx＋)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－3x＋1，则ω＝________.解析：由题意，得f′(x)＝－ωsin(ωx＋)，所以f′(0)＝－ωsin＝－ω＝－3，所以ω＝3.答案：38．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)9．求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝；(3)y＝xsincos；(4)y＝.解：(1)法一：因为y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝＝＝.(3)因为y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，所以y′＝－sin4x－x·4·cos4x＝－sin4x－2xcos4x.(4)y′＝＝＝.10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.所以或即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.1．(2019·成都市第二次诊断性检测)若曲线y＝f(x)＝lnx＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A．(－，＋∞)B．[－，＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x＞0)，根据题意有f′(x)≥0(x＞0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x＞0)恒成立，即2a≥－(x＞0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为2．过点A(2，1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有()A．3条B．2条C．1条D．0条解析：选A.由...
