考点规范练13导数的概念及运算考点规范练A册第8页基础巩固组1.已知函数f(x)=+1,则的值为()A.-B.1C.2D.0答案:A解析:=-=-f'(1)=-=-.2.(2015山东济宁模拟)已知f(x)=x(2014+lnx),f'(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e答案:B解析:由题意可知f'(x)=2014+lnx+x·=2015+lnx.由f'(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1答案:A解析:由已知得y'=2x+a,且切线斜率k=y'|x=0=a=1.又切线过点(0,b),故0-b+1=0,得b=1.综上知a=1,b=1.4.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则切点横坐标为1的切线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=0答案:B解析:由函数y=f(x)为奇函数,在[0,+∞)上,得f(x)=-x2+x,切点为(1,0). y'=-2x+1,∴y'|x=1=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.5.设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3答案:B解析:f'(x)=3x2+2ax+(a-3),又f'(x)为偶函数,则a=0,所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3,故f'(0)=-3,故所求的切线方程为y=-3x.6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于()A.-8B.-6C.-1D.5答案:A解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),∴2=k+1,即k=1. y'=3x2+a,又因直线y=kx+1与曲线相切于点A(1,2),∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,∴ab=(-2)3=-8.故选A.7.若函数f(x)=x3-f'(-1)·x2+x+5,则f'(1)=.答案:6解析:因为f(x)=x3-f'(-1)·x2+x+5,所以f'(x)=x2-2f'(-1)·x+1.将x=-1代入上式得f'(-1)=1+2f'(-1)+1,故f'(-1)=-2.再令x=1,得f'(1)=6.8.(2015江西九江模拟)已知直线ax-by-3=0与f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则=.答案:-解析:对函数f(x)=xex求导可得f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex(x+1),则在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f'(1)=e1×(1+1)=2e,又直线与它垂直,则有=-.9.(2015河北邯郸二模)曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于.答案:log2e解析: y'=,∴k=,∴切线方程为y=(x-1),∴三角形面积为S△=×1×log2e.10.(2015山东临沂一模)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图像为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.解:(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).导学号〚32470435〛能力提升组11.下面四个图像中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图像,则f(-1)=()A.B.-C.D.-导学号〚32470436〛答案:D解析: f'(x)=x2+2ax+a2-1,∴f'(x)的图像开口向上,则②④排除.若f'(x)的图像为①,此时a=0,f(-1)=;若f'(x)的图像为③,此时a2-1=0,又对称轴x=-a>0.∴a=-1,∴f(-1)=-.12.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.B.C.D.导学号〚32470437〛答案:D解析: y=,∴y'===-1,当且仅当ex=,即x=0时,“=”成立.又y'<0,∴-1≤y'<0. 切线的倾斜角为α,则-1≤tanα<0.又α∈[0,π),∴≤α<π,故选D.13.(2015浙江宁波四中月考)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是(把你认为正确的序号都填上).①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex.导学号〚32470438〛答案:①②③解析:①中,f'(x)=cosx-sinx,f″(x)=-sinx-cosx=-sin<0在区间上恒成立;②中,f'(x)=-2(x>0),f″(x)=-<0在区间上恒成立;③中,f'(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x在区间上恒小于0.故①②③为凸函数.④中,f'(x)=ex+xex,f″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0在区间上恒成立,故④中函数不是凸函数.14.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标...
