专题能力训练24解答题专项训练(三角函数与解三角形)1.已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若0<α<,0<β<,且f,f,求sin(α-β)的值.2.(2014陕西高考,文16)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.3.已知f(x)=m·n,其中m=(sinωx+cosωx,cosωx),n=(cosωx-sinωx,2sinωx)(ω>0),若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.(1)求ω的取值范围;(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=,S△ABC=.当ω取最大值时,f(A)=1,求b,c的值.4.已知函数f(x)=4cosωxsin+1(ω>0)的最小正周期是π.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.5.已知向量a=,b=(2cosωx,0)(ω>0),函数f(x)=a·b的图象与直线y=-2+的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.6.已知m=(2cosx+2sinx,1),n=(cosx,-y),满足m·n=0.(1)将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的最小正周期;(2)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C对应的边长,f(x)(x∈R)的最大值是f,且a=2,求b+c的取值范围.7.如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在三边AB,BC和CA上,且D为AB的中点,∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°).(1)当tan∠DEF=时,求θ的大小;(2)求△DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值.8.某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B分别是海岸线l1,l2上的三个集镇,A位于O的正南方向6km处,B位于O的北偏东60°方向10km处.(1)求集镇A,B间的距离;(2)随着经济的发展,为缓解集镇O的交通压力,拟在海岸线l1,l2上分别修建码头M,N,开辟水上航线.勘测时发现:以O为圆心,3km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头M,N的位置,使得M,N之间的直线航线最短.答案与解析专题能力训练24解答题专项训练(三角函数与解三角形)1.解:(1)∵f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cos2x-sin2x=cos2x,∴函数f(x)的最小正周期为T==π.(2)由(1)得f(x)=cos2x.∵f,f,∴cosα=,cosβ=.∵0<α<,0<β<,∴sinα=,sinβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=.2.(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)解:由题设有b2=ac,c=2a,∴b=a.由余弦定理得cosB=.3.解:(1)f(x)=m·n=cos2ωx+sin2ωx=2sin.∵f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于π,∴≥π.∴≥π.∴0<ω≤.(2)当ω=时,f(x)=2sin,∴f(A)=2sin=1.∴sin.∵0
