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高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 双曲线试题 理 新人教版-新人教版高三全册数学试题VIP免费

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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线试题理新人教版基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2017·郑州模拟)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±2x解析因为2b=2,所以b=1,因为2c=2,所以c=,所以a==,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选B.答案B2.(2015·广东卷)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1,故选C.答案C3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),右焦点F到渐近线的距离为2,点F到原点的距离为3,则双曲线C的离心率e为()A.B.C.D.解析 右焦点F到渐近线的距离为2,∴F(c,0)到y=x的距离为2,即=2,又b>0,c>0,a2+b2=c2,∴=b=2,又 点F到原点的距离为3,∴c=3,∴a==,∴离心率e===.答案B4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=()A.B.C.D.解析由x2-y2=2,知a=b=,c=2.由双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4,|PF2|=2,在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2==.答案C5.(2017·成都调研)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.B.2C.6D.4解析由题意知,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,将x=c=2代入得y=±2,即A,B两点的坐标分别为(2,2),(2,-2),所以|AB|=4.答案D二、填空题6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是________.解析由已知,得a2=7,b2=3,则c2=7+3=10,故焦距为2c=2.答案27.(2016·北京卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.解析取B为双曲线右焦点,如图所示. 四边形OABC为正方形且边长为2,∴c=|OB|=2,又∠AOB=,∴=tan=1,即a=b.又a2+b2=c2=8,∴a=2.答案28.(2016·山东卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.解析由已知得|AB|=,|BC|=2c,∴2×=3×2c.又 b2=c2-a2,整理得:2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2得2-3-2=0,即2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去).答案2三、解答题9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:MF1·MF2=0.(1)解 e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0). 双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.∴双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证明法一由(1)可知,a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,kMF1·kMF2==-. 点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2=0.法二由(1)可知,a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),MF1=(-2-3,-m),MF2=(2-3,-m),∴MF1·MF2=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2, 点M(3,0)在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴MF1·MF2=0.10.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且OA·OB>2(其中O为原点),求k的取值范围.解(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.故C2的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得∴k2≠且k2<1.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.又 OA·OB>2,得x1x2+y1y2>2,∴>2,即>0,...

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