20直线与抛物线的综合1.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=43,则弦AB的长为().A.4B.163C.103D.83解析▶抛物线的焦点弦公式为|AB|=x1+x2+p,由抛物线方程可得p=2,则弦AB的长为x1+x2+p=43+2=103,故选C.答案▶C2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的斜率k=-❑√3,则线段PF的长为().A.4B.5C.6D.7解析▶因为抛物线的方程为y2=6x,所以焦点为F(32,0),准线方程为x=-32.因为直线AF的斜率k=-❑√3,所以直线AF的方程为y=-❑√3(x-32).当x=-32时,y=3❑√3,即A(-32,3❑√3).因为PA⊥l,A为垂足,所以点P的纵坐标为3❑√3,代入抛物线方程,得点P的坐标为(92,3❑√3),所以|PF|=|PA|=92-(-32)=6,故选C.答案▶C3.已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若⃗OA·⃗OB<0,则实数a的取值范围是().A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.{1}解析▶设直线方程为x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+a代入抛物线方程得y2-my-a=0,所以y1y2=-a,x1x2=(y1y2)2=a2.由⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=a2-a<0,解得a∈(0,1),故选B.答案▶B4.已知点P(-1,4),过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为().A.x2=14yB.x2=4y或y2=-16xC.y2=-16xD.x2=14y或y2=-16x解析▶ 过点P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,∴点P一定在抛物线C上,两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称轴平行的直线.若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=2px,将P(-1,4)代入方程可得2p=-16,则抛物线C的标准方程为y2=-16x;若抛物线焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py,将P(-1,4)代入方程可得2p=14,则抛物线C的标准方程为x2=14y.故选D.答案▶D能力1▶会用“设而不解”的思想求直线与抛物线中的弦长、面积【例1】直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=163,则k=.解析▶设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线经过抛物线y2=4x的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=163,所以x1+x2=103.联立{y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2k2+4k2=103,所以k=±❑√3.答案▶±❑√3凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时,一般运用定义转化为到准线的距离处理.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义易得|PF|=x0+p2;若过焦点的弦AB的端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.已知过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=16,且|AF|<|BF|,则|AF|=.解析▶由题意可设过抛物线y2=8x的焦点F的直线方程为y=k(x-2).联立{y2=8x,y=k(x-2),得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2. |AB|=16,∴x1+2+x2+2=16,即4k2+8k2=12.∴k2=1,则x2-12x+4=0,∴x=6±4❑√2. |AF|<|BF|,∴x2=6+4❑√2,x1=6-4❑√2,∴|AF|=6-4❑√2+2=8-4❑√2.答案▶8-4❑√2能力2▶会用方程的思想求直线与抛物线中的有关几何量【例2】已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,y0)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)已知抛物线上一点M(n,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点,并说明理由.解析▶(1)由题意设抛物线的方程为y2=2px,其准线方程为x=-p2, P(4,y0)到焦点的距离等于其到准线的距离,∴4+p2=5,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)可得点M(4,4),直线DE的斜率不为0,设直线DE的方程为x=my+t,联立{x=my+t,y2=4x,得y2-4my-4t=0,则Δ=16m2+16t>0.①设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4t. ⃗MD·⃗ME=(x1-4,y1-4)·(x2-4,y2-4)=(x1-4)(x2-4)+(y1-4)(y2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=(y1y2)216-4(y124+y224)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=t2-16m2-12t+32-16m=0,即t2-12t+32=16m2+16m,得(t-6)2=4(2m+1)2,∴t-6=±2(2m+1),即t=4m+8或t=-4m+4.把t=4m+8代入①式检验,满足Δ>0,把t=-4m+4代入①式检验,得m≠2(不合题意).∴直线DE的方程为x=my+4m+8=m(y+4)+8.∴直线DE过定点(8,-4).根据直线与圆锥曲线的位置关系中弦的中点、平面向量、线段的平行与垂直...
