课时分层训练(四十七)利用空间向量求空间角A组基础达标一、选择题1．在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D夹角的大小为()A.B.C.D．D[建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0)．∴AC＝(1,1,0)，B1D＝(－1,1，－1)， AC·B1D＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0，∴AC⊥B1D，∴AC与B1D的夹角为.]2.(2017·西安调研)如图7720，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图7720A.B．－C.D．－A[不妨设CB＝1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1＝(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)．cos〈BC1，AB1〉＝＝＝.]3．(2017·郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1夹角的正弦值为()【导学号：79140255】A.B．C.D．B[设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以BB1＝(0,0,1)，AC＝(－1,1,0)，AD1＝(－1,0,1)．令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC＝－x＋y＝0，n·AD1＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，所以sinθ＝|cos〈n，BB1〉|＝＝.]4．已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于()A.B．C.D．A[如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，所以AB1＝(，1,2)，由题知BO＝(－，0,0)为侧面ACC1A1的法向量．即sinθ＝＝.故选A.]5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B．C.D．B[以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝.设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，∴有即解得∴n1＝(1,2,2)． 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．∴cos〈n1，n2〉＝＝，即所成的锐二面角的余弦值为.]二、填空题6．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1夹角的正弦值为________．[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n·A1B＝0，n·A1C1＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2,1,2)，D1C1＝(0,2,0)．设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.]7．如图7721所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________．图772160°[ CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝＝＝＝2.∴CA·BD＝|CA|·|BD|·cos〈CA，BD〉＝－24.∴cos〈CA，BD〉＝－.又所求二面角与〈CA，BD〉互补，∴所求的二面角为60°.]8．在一直角坐标系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为________.【导学号：79140256】2[如图为折叠后的图形，其中作AC⊥CD，BD⊥CD，则AC＝6，BD＝8，CD＝4，两异面直线AC，BD夹角为60°.故由AB＝AC＋CD＋DB，得|AB|2＝|AC＋CD＋DB|2＝68，所以|AB|＝2.]三、解答题9．(2018·合肥一检)如图7722，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.图7722(1)若M为CD的中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD夹角的正弦值．[解](1)证明： 四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，连接AC，则△ACD为等边三角形，又 M为CD的中点，∴AM⊥CD，由CD∥AB得AM⊥AB. AA1⊥底面ABCD，AM底面ABCD，∴AM⊥AA1，又 AB∩AA1＝A，∴AM⊥平面AA1B1B.(2) 四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，得DM＝1，AM＝，∴∠AMD＝∠BAM＝90°，又 AA1⊥底面ABCD，∴以点A为原点，分别以AB，AM，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，，0)，D1，∴DD1＝，BD＝(－3，，0)，A1B＝(2,0，－2)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则有⇒令x＝1，则n＝(1，，1)．∴直线DD1与平面A1BD夹角...
