课下层级训练(四十)证明平行与垂直[A级基础强化训练]1.(2019·陕西西安质检)若平面α,β的法向量分别是n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上答案均不正确【答案】C[ n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,∴n1与n2不垂直,且不共线.∴α与β相交但不垂直.]2.(2018·辽宁锦州模拟)直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为()A.-2B.-C.D.±【答案】D[由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±.]3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是()A.P(2,3,3)B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0)D.P(3,-3,4)【答案】A[逐一验证法,对于选项A,MP=(1,4,1),∴MP·n=6-12+6=0,∴MP⊥n,∴点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.]4.如图,F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=EBD.E与B重合【答案】A[分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),D1F=(0,1,-2),DE=(2,2,z), D1F·DE=0×2+1×2-2z=0,∴z=1,∴B1E=EB.]5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.【答案】C[设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,∴AM∥EO,又O是正方形ABCD对角线交点,∴M为线段EF的中点.在空间坐标系中,E(0,0,1),F(,,1).由中点坐标公式,知点M的坐标.]6.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为________.【答案】2[由题意知AB·AC=0,|AB|=|AC|,又AB=(6,-2,-3),AC=(x-4,3,-6),∴解得x=2.]7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是CD,PC的中点,并且PA=AD=1.在如图所示的空间直角坐标系中,则MN=________.【答案】[连接PD, M,N分别为CD,PC的中点,∴MN=PD,又P(0,0,1),D(0,1,0),∴PD==,∴MN=.]8.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.【答案】垂直[以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M,O,N,AM·ON=·=0,∴ON与AM垂直.]9.如图,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BCD.【答案】证明如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知,A(0,,2),B(0,-,0),D(0,,0).设点C的坐标为(x0,y0,0).因为AQ=3QC,所以Q.因为M为AD的中点,故M(0,,1).又P为BM的中点,故P,所以PQ=.又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故·a=0.又PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.10.(2019·山东聊城模拟)如图,在三棱锥PABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)若点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.【答案】证明(1)如图所示,以O为坐标原点,分别以射线OD,OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),于是AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),∴AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,∴AP⊥BC,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,∴AM=AP=,又BA=(-4,-5,0),∴BM=BA+AM=,则AP·BM=(0,3,4)·=0,∴AP⊥BM,即AP⊥BM.又根据(1)的结论知AP⊥BC,∴AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.[B级能力提升训练]11.如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,△AB...