专题十八平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理考点40平面向量的线性运算和几何意义考场高招1向量的线性运算的解题规律1.解读高招规律解读典例指引转化到图形中进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解典例导引1(1)巧借几何性质善于利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解典例导引1(2)善于利用结论记忆三角形中某些特殊点的向量线性表示对解题大有益处,常见的结论如下:(1)=0⇔P为△ABC的重心;(2))⇔D是△ABC中BC边的中点;(3)⇔P为△ABC的垂心;(4)()·=()·=()·=0⇔||=||=||⇔⇔O为△ABC的外心典例导引1(3)2.典例指引1(1)(2016湖北武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点,则等于()A.B.2C.3D.4(2)(2016河北衡水中学质检)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足|3|=0,则△ABM与△ABC的面积之比等于()A.B.C.D.(3)(2016四川成都模拟)O是面α上一定点,A,B,C是面α上△ABC的三个顶点,∠B,∠C分别是边AC,AB的对角.以下命题正确的序号是.①动点P满足,则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中;②动点P满足+λ(λ>0),则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中;③动点P满足+λ(λ>0),则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中;④动点P满足+λ(λ>0),则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中.【解析】(1)因为M是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,所以=2=2,所以=4,故选D.(3)对于①,由=0,故点P是△ABC的重心,故①错;对于②,由+λ=λ,因为分别表示方向上的单位向量,故AP平分∠BAC,因此△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中,故②正确;对于③,由+λ可知=λ.在△ABC中,由于||sinB,||sinC表示BC边上的高h,故)=(其中D为BC的中点),即点P在BC边的中线所在直线上,因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中,故③正确;对于④,由已知可得=λ.则=λ,得=0,即点P在边BC的高线所在直线上,因此△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中,故④正确.【答案】(1)D(2)C(3)②③④3.亲临考场1(2013四川,理12)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,=λ,则λ=.(k∈Z)【答案】22.(2017广东惠州二调)如图,在正方形ABCD中,点E为DC的中点,点F为BC上靠近点B的三等分点,则=()A.B.C.D.【答案】D在△CEF中,.因为点E为DC的中点,所以.因为点F为BC上靠近点B的三等分点,所以.所以,故选D考场高招2三法(定理法、坐标法、结论法)搞定平面向量共线问题1.解读高招方法解读适合题型典例指引定理利用a∥b的充要条件a=λb(b≠0),可判断两个向量是否共线,三点是否共线等问题已知向量的几何意义或线性表示典例导引2(3)法坐标法利用坐标形式,设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b(⇔x1,y1)=λ(x2,y2),即或x1y2-x2y1=0已知向量的坐标表示或能够建系后利用典例导引2(1)结论法(1)对于向量a,b,|a·b|=|a|·|b|⇔a与b共线.(2)利用三点共线的结论=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1已知向量满足结论成立的条件典例导引2(2)2.典例指引2(1)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为()A.B.2C.-D.-2(2)(2017广东佛山质检)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点K,若=2=3=λ(λ∈R),则λ=()A.2B.C.3D.5(3)在△ABC中,点H是边BC上异于端点B,C的一点,M是AH的中点,=λ+μ,则λ+μ=.(2)由平行四边形法则,知,∴)=(2+3)=. E,K,F三点共线,∴=1,解得λ=5.故选D.(3) 点H是边BC上异于端点B,C的一点,∴存在实数t使得=t(0
