第3节二项式定理【选题明细表】知识点、方法题号二项展开式的通项公式1,3,8,9二项式系数的性质、系数和2,4,5,6,7,10,11,12二项式定理的简单应用13,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.在（x2-）n的展开式中,常数项为15,则n的值可以为(D)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:因为=(x2)n-r（-）r=(-1)rx2n-3r,所以(-1)r=15且2n-3r=0,所以n可能是6.故选D.2.设（x-）6的展开式中x3的系数为A,二项式系数为B,则等于(A)(A)4(B)-4(C)26(D)-26解析:Tk+1=x6-k（-）k=(-2)k,令6-=3,即k=2,所以T3=(-2)2x3=60x3,所以x3的系数为A=60,二项式系数为B==15,所以==4.故选A.3.(2017·咸阳市二模)设a=sinxdx,则（a+）6展开式的常数项为(D)(A)-20(B)20(C)-160(D)240解析:a=sinxdx=(-cosx)=-(cosπ-cos0)=2,则(a+)6=（2+）6展开式的通项公式为Tr+1=·(2)6-r·（）r=26-r··.令3-r=0得r=2,所以展开式中的常数项为24·=240.故选D.4.已知（x2+）n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为(D)(A)5(B)40(C)20(D)10解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r（）r=x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.故选D.5.若（x-）n的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等,则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为(C)(A)(B)12(C)(D)36解析:由=,Tr+1=an-rbr知n=1+3=4,直线y=nx=4x与抛物线y=x2的交点的横坐标分别是0与4,因此结合图形(图略)可知,所求的封闭区域的面积等于(4x-x2)dx=（2x2-x3）|=.故选C.6.(2017·南平市一模)(x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(D)(A)-40(B)-20(C)20(D)40解析:令x=1则有1+a=2,得a=1,故二项式为(x+)（2x-）5,其常数项为-22×+23=40.故选D.7.(2017·吉林延边模拟)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则=.解析:通项公式Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr,令r=3,则a3=(-2)3=-80;令r=2,则a2=(-2)2=40,所以==-2.答案:-28.若（+）n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6,则n=.解析:由题知,T7=()n-6（）6,Tn+1-6=Tn-5=·()6（）n-6.由=,化简得=6-1,所以-4=-1,所以n=9.答案:9能力提升(时间:15分钟)9.“n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:因为（2+）n(n∈N*)展开式的通项Tr+1=2n-r,（2+）n的展开式中含有常数项时满足-=0,当n=5时,=0,解得r=3,此时含有常数项;反之,当n=10时,r=6,也有常数项,但是不满足n=5.故“n=5”是“（2+）n(n∈N*)的展开式中含有常数项”的充分不必要条件.故选A.10.(2017·福建龙岩市一模)(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为(A)(A)100(B)15(C)-35(D)-220解析:由于(x+2)6的展开式的通项公式为Tr+1=·x6-r·2r,令6-r=3,r=3,(x+2)6的展开式中x3的系数为8=160;令6-r=4,r=2,可得(x+2)6的展开式中x4的系数为-4,所以(x-1)(x+2)6的展开式中x4的系数为8-4=160-60=100.故选A.11.(2017·陕西渭南市一模)已知f(x)=x+在区间[1,4]上的最小值为n,则二项式（x-）n展开式中x2的系数为.解析:f′(x)=1-=,x∈[1,4].令f′(x)=0,解得x=3.所以x∈[1,3]时,函数f(x)单调递减;x∈(3,4]时,函数f(x)单调递增.所以x=3时,函数f(x)取得最小值6.所以（x-）6的通项公式Tr+1=x6-r（-）r=(-1)rx6-2r,令6-2r=2,解得r=2,所以二项式（x-）n展开式中x2的系数为=15.答案:1512.如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为.解析:因为(1+x+x2)(x-a)5的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1-a)5=0,所以a=1,所以(1+x+x2)(x-a)5=(1+x+x2)(x-1)5=(x3-1)(x-1)4=x3(x-1)4-(x-1)4,其展开式中含x4项的系数为(-1)3-(-1)0=-5.答案:-513.已知（-）n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含的项.解:由题意知,第五项系数为·(-2)4,第三项的系数为·(-2)2,则有=,化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去).(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.(2)通项公式Tr+1=()8-r（-）r=(-2)r·.令-2r=,得r=1,故展开式中含的项为T2=-16.14.(2017·海南三亚模拟)已知fn(x)=(1+x)n.(1)若f2017(x)=a0+a1x+…+a2017x2017,求a1+a3+…+a2015+a2017的值;(2)若g(x)=...
