高考大题专攻练12.函数与导数(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知函数f(x)=alnx-(a+b)x+x2(a,b∈R).(1)若a=2,b=1,求函数f(x)在x=1处的切线方程.(2)若f(x)在x=1处取得极值,讨论函数f(x)的单调性.【解析】(1)当a=2,b=1时,f(x)=2lnx-3x+x2,所以f′(x)=-3+2x,所以f′(1)=1,又f(1)=-2,所以f(x)在x=1处的切线方程为x-y-3=0.(2)f′(x)=-(a+b)+2x,由f(x)在x=1处取得极值,可得f′(1)=0,解得b=2,所以f′(x)=-(a+2)+2x=.当a=2时,f′(x)≥0,不满足f(x)在x=1处取得极值,故a≠2.①当a≤0,x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增;②当0<<1即0
1时,f′(x)>0,2,0时,f′(x)>0,10,a∈R).(1)求函数f(x)的极值点.(2)设g(x)=,若函数g(x)在(0,1)∪(1,+∞)内有两个极值点x1,x2,求证:g(x1)·g(x2)<.【解析】(1)f′(x)==(x>0).①若a≤0,由f′(x)=0,得x=2.由f′(x)>0,可得x>2,所以函数f(x)在(2,+∞)上为增函数;由f′(x)<0,可得00,可得02,所以函数f(x)在(0,a),(2,+∞)上为增函数;由f′(x)<0,可得a2,由f′(x)=0,得x=2,x=a,由f′(x)>0,可得0a,所以函数f(x)在(0,2),(a,+∞)上为增函数,由f′(x)<0,可得22.由g(x1)g(x2)====.因为a>2,所以>e2,所以g(x1)g(x2)=<.
