课时作业(六十)第60讲不等式的证明、柯西不等式与均值不等式时间/30分钟分值/80分基础热身1.(10分)[2017·石家庄模拟]已知函数f(x)=|x+1|+|x-5|的最小值为m.(1)求m的值;(2)若a,b,c均为正实数,且a+b+c=m,求证:a2+b2+c2≥12.2.(10分)[2017·衡水中学三模]已知实数a,b满足a2+b2-ab=3.(1)求a-b的取值范围;(2)若ab>0,求证:++≥.能力提升3.(10分)[2017·巢湖模拟]已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)求函数f(x)的值域M;(2)若a∈M,试比较|a-1|+|a+1|,,-2a的大小.4.(10分)已知函数f(x)=|x+5|-|x-1|(x∈R).(1)解关于x的不等式f(x)≤x;(2)记函数f(x)的最大值为k,若lga+lg(2b)=lg(a+4b+k),试求ab的最小值.5.(10分)已知a,b为任意实数.(1)求证:a4+6a2b2+b4≥4ab(a2+b2);(2)求函数f(x)=|2x-a4+(1-6a2b2-b4)|+2|x-(2a3b+2ab3-1)|的最小值.6.(10分)[2017·安阳二模]已知函数f(x)=2|x+1|-|x-1|.(1)求函数f(x)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积m;(2)在(1)的条件下,若(a,b)(a≠b)是函数g(x)=图像上一点,求的取值范围.难点突破7.(10分)[2017·武汉二模]已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|-|x-b|+c的最大值为10.(1)求a+b+c的值;(2)求(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值,并求出此时a,b,c的值.8.(10分)[2017·昆明模拟]已知a,b,c,m,n,p都是实数,且a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1.(1)证明:|am+bn+cp|≤1;(2)若abc≠0,证明:++≥1.课时作业(六十)1.解:(1)∵f(x)=|x+1|+|x-5|≥|x+1-x+5|=6,∴m=6.(2)证明:∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,c2+b2≥2cb,∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+bc),∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2,又m=6,∴a+b+c=6,∴a2+b2+c2≥12.2.解:(1)因为a2+b2-ab=3,所以a2+b2=3+ab≥2|ab|.①当ab≥0时,3+ab≥2ab,解得ab≤3,即0≤ab≤3;②当ab<0时,3+ab≥-2ab,解得ab≥-1,即-1≤ab<0.所以-1≤ab≤3,则0≤3-ab≤4,而(a-b)2=a2+b2-2ab=3+ab-2ab=3-ab,所以0≤(a-b)2≤4,即-2≤a-b≤2.(2)证明:由(1)知0
0,4a-3>0,所以>0,所以>-2a,所以|a-1|+|a+1|>>-2a.4.解:(1)当x≤-5时,由-(x+5)+(x-1)≤x得-6≤x≤-5;当-5b,则=a-b+=a-b+≥4,当且仅当a-b=时,取等号;若a0,b>0,∴f(x)的最大值为a+b+c.又已知f(x)的最大值为10,∴a+b+c=10.(2)由(1)知a+b+c=10,由柯西不等式得(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2(22+12+12)≥(a+b+c-6)2=16,即(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2≥,当且仅当(a-1)=b-2=c-3,即a=,b=,c=时,等号成立.故(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2的最小值为,此时a=,b=,c=.8.证明:(1)因为|am+bn+cp|≤|am|+|bn|+|cp|,a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以|am|+|bn|+|cp|≤++==1,所以|am+bn+cp|≤1.(2)因为a2+b2+c2=1,m2+n2+p2=1,所以++=(a2+b2+c2)≥=(m2+n2+p2)2=1,所以++≥1.
