第2课时圆与圆的位置关系1.圆(x-a)2+(y-b)2=c2和圆(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则()A.(a-b)2=c2B.(a-b)2=2c2C.(a+b)2=c2D.(a+b)2=2c2解析:圆心距d==2|c|,∴(a-b)2=2c2.答案:B2.导学号62180138圆x2+y2=16和圆(x-4)2+(y+3)2=R2(R>0)在交点处的切线互相垂直,则R等于()A.3B.4C.5D.6解析:由题意知两圆的一个交点与两圆圆心构成直角三角形,∴52=R2+16.∴R=3.答案:A3.圆x2+y2-2y-3=0与圆x2+y2+2x=0的公共弦的长度等于()A.B.C.D.解析:两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为2x+2y+3=0,又圆x2+y2+2x=0的圆心(-1,0)到公共弦的距离d=,于是公共弦长l=2.答案:B4.设集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2(r>0)},当M∩N=N时,r的取值范围是()A.[0,-1]B.[0,1]C.(0,2-]D.(0,2)解析:集合M表示以原点O(0,0)为圆心,半径等于2的圆面(圆及圆的内部),集合N表示以C(1,1)为圆心,半径等于r的圆面(圆及圆的内部).当M∩N=N时,圆C内含或内切于圆O,故有|CO|≤2-r,即≤2-r,所以0
1+2=3,∴圆A与圆B相离,因此两圆的公切线有4条,即直线l有4条,故选D.答案:D6.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0相内切,则a的值为.解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r1=2,圆x2+y2-2ax+a2-1=0,即为(x-a)2+y2=1,圆心为(a,0),半径r2=1,依题意有|a|=1,所以a=±1.答案:±17.点P在圆C1:x2+(y+3)2=4上,点Q在圆C2:(x+3)2+(y-1)2=9上,则|PQ|的最大值为.解析:由已知可得C1(0,-3),r1=2,C2(-3,1),r2=3,则|C1C2|==5.∴|PQ|的最大值为5+r1+r2=10.答案:108.半径为3且与圆x2+y2-2x+4y+1=0外切的圆的圆心的轨迹方程是.解析:圆x2+y2-2x+4y+1=0可化为(x-1)2+(y+2)2=4,故其圆心为(1,-2),半径为2,因为两圆外切,所以圆心距为3+2=5,因此动圆的圆心到点(1,-2)的距离等于5,其轨迹是以(1,-2)为圆心,半径等于5的圆,其方程是(x-1)2+(y+2)2=25.答案:(x-1)2+(y+2)2=259.导学号62180139求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),即x2+y2-x-y-6=0,所以圆心坐标为.又圆心在直线x-y-4=0上,所以-4=0,解得λ=-.故所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.10.若集合A={(x,y)|x2+y2=16},集合B={(x,y)|x2+(y-2)2=a-1},当A∩B=⌀时,求a的取值范围.解:由题意知,此题应分三种情况:(1)B=,⌀则a<1.(2)B≠,⌀且B中只有一个元素,则a-1=0,即a=1,点(0,2)不在集合A中,满足题意.(3)集合B中含有无数个元素,则两个集合所表示的圆内含或相离,圆x2+y2=16的圆心为O1(0,0),半径为4,圆x2+(y-2)2=a-1的圆心为O2(0,2),半径为,所以a>1.|O1O2|==2.①两圆内含时,|O1O2|<4-或|O1O2|<-4,即2<4-或2<-4,解得137;②两圆相离时,|O1O2|>4+,即2>4+,无解.综上所述,a的取值范围是a<5或a>37.
