圆锥曲线1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2＝F2B，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D．2答案A2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，根据正弦定理＝＝2R，∴R＝c， R＝4r，∴r＝c，由余弦定理，2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，可得|PF1||PF2|＝，则由三角形面积公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，可得·c＝·，∴e＝＝.3．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为()A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分答案D解析如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.4．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为______________________．答案(1，)∪(，＋∞)解析设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1(－c,0)，令x＝－c，可得y＝±b＝±，设A，B，D(0，b)，可得AD＝，AB＝，DB＝，若∠DAB为钝角，则AD·AB<0，即0－·<0，化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2，可得c2<2a2，即e＝<，又e>1，可得10，由e＝，可得e4－4e2＋2>0，又e>1，可得e>；又AB·DB＝>0，∴∠DBA不可能为钝角．综上可得，e的取值范围为(1，)∪(，＋∞)．5．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.答案2解析方法一特殊化，设MN⊥x轴，则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2.方法二由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝8k2＋8>0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝，则|MN|＝＝.直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则解得x2＝，y2＝，则|OP|2＝x＋y＝，又|PQ|＝2|OP|，所以|PQ|2＝4|OP|2＝，所以＝2.综上，＝2.6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．答案±解析由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，配方得2＋y2＝p2，所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，∴直线l的斜率存在．∴可设直线l的方程为y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化为x2－x＋＝0，所以x1＋x2＝p＋，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，可得k2＝，所以k＝±.7．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．答案由题意得≤1，所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，所以e2≥，又因为0b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求...
