函数的奇偶性与周期性一、填空题1．若函数f(x)＝＋m为奇函数，则实数m＝________.解析由题意，得f(0)＝0，所以＋m＝0，即m＝－1.答案－12．设函数f(x)是奇函数且周期为3，f(－1)＝－1，则f(2011)＝________解析因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2011)＝f(3×670＋1)＝f(1)＝1.答案13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.解析∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)＝－f(2)．又当x＝2时，f(2)＝22－3＝1，∴f(－2)＝－1.答案－14．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m、n满足不等式组那么m2＋n2的取值范围是________．解析考查函数单调性及对称性，举特殊函数是解决此类问题的一个重要方法．如：f(x)＝x－1，f(x＋1)＋f(1－x)＝0，所以f(x)的对称中心为(1,0)，∴不等式组由图可知OA最小，OA＝，OB最大，OB＝7，∴m2＋n2∈(13,49)．答案(13,49)5．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝________.解析由f(x)·f(x＋2)＝13得f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)．∴f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝＝.答案6．设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范围是________．答案7．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)为R上的偶函数；1④函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________．答案①②③8．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．解析∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的函数，①正确．又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，∴y＝f(x)的图象关于x＝1对称，②正确．又∵f(x)为偶函数且在[－1,0]上是增函数，∴f(x)在[0,1]上是减函数．又∵对称轴为x＝1，∴f(x)在[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．答案①②⑤9．已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈，则满足f(x0)>f的x0的取值范围为________．解析f′(x)＝2x＋sinx，在区间内f′(x)>0，∴f(x)在区间内单调递增，此时由f(x0)>f得x0∈，易证f(x)是偶函数，∴x0∈也符合题意．答案10．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析①由f＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f＝f(x)，所以①正确．②由y＝f为奇函数，得f(x)图象关于点对称，所以②不正确．③由f＝－f，得f(x)＝－f，又f＝－f(x)，所以f＝f，所以f(x)是偶函数，③正确．由③正确知④不正确．答案①③二、解答题11．设f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)．(1)讨论函数g(x)＝xf(x)的奇偶性；(2)若g(x)是偶函数，解不等式f(x2－2)≤f(x)．解(1)a＝1时，f(x)＝ex＋e－x是偶函数，所以g(x)＝xf(x)是奇函数；a＝－1时，f(x)＝ex－e－x是奇函数，所以g(x)＝xf(x)是偶函数．a≠±1，由f(x)既不是奇函数又不是偶函数，得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函数．(2)当g(x)是偶函数时，a＝－1，f(x)＝ex－e－x是R上的单调递增函数，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.12.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；2(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.3
