课时分层作业(十六)向量数量积的坐标运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于()A．1B．C．－D．－1A[由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1，所以x＝1.]2．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量CD在BA方向上投影的数量是()A．－3B．－C．3D．A[依题意得，BA＝(－2，－1)，CD＝(5,5)，BA·CD＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA|＝，因此向量CD在BA方向上投影的数量是＝＝－3，故选A．]3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A．B．(－，－)C．D．D[设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，所以2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，所以(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②联立①②解得x＝－，y＝－.所以c＝.]4．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()A．B．C．2D．10B[因为a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，所以x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，所以y＝－2.所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)．所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝＝.]5．(多选题)已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角是直角B．|a＋b|为2C．a＋b与a－b的夹角是直角D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量CD[由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角．a＋b＝(－1,1)，所以|a＋b|＝＝.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝＝－，b在a上投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝＝－.]二、填空题6．已知向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，则a与b夹角的大小为____．[因为向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，所以a与b夹角θ满足cosθ＝＝－＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.]7．(一题两空)已知向量a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝2，则x＝________；|a＋b|＝________.2[因为a·b＝2，所以x＝2.因为a＋b＝(3,1)，所以|a＋b|＝.]8．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．－[因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，所以λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．又因为λa＋b与a－2b垂直，所以(λa＋b)·(a－2b)＝(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.]三、解答题9．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值．[解]因为a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，所以c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，所以c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又|c|＝1，|d|＝，c与d的夹角为45°，所以2－3m＝1×cos45°，即＝(2－3m)，等价于解得m＝.10．已知平面上三点A，B，C，满足AC＝(2,4)，BC＝(2－k,3)．(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．[解](1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即AC∥BC，得4(2－k)＝6，解得k＝.(2)因为BC＝(2－k,3)，所以CB＝(k－2，－3)，所以AB＝AC＋CB＝(k,1)．由于A，B，C三点构成直角三角形，所以当A是直角时，AB⊥AC，所以AB·AC＝0，得2k＋4＝0，解得k＝－2；当B是直角时，AB⊥BC，所以AB·BC＝0，得k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；当C是直角时，AC⊥BC，所以AC·BC＝0,16－2k＝0，解得k＝8.综上所述，实数k的值为－2，－1,3,8.11．(多选题)设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的为()①m·n＝0；②x1x2＝y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝.A．①B．②C．③D．④ACD[由公式知①正确，②错误；对③④两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是正确的，故选ACD．]12．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tanα＝－2，则OP与OQ夹角的余弦值为()A．－B．C．或－D．或C[因为tanα＝－2，所以可设P(x，－2x)，cos〈OP，OQ〉＝＝，当x＞0时，cos〈OP，OQ〉＝，当x＜0时，cos〈OP...
