课时跟踪检测(五十六)[高考基础题型得分练]1．[2017·山西太原模拟]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，AC·BD＝0，求|AC|＋|BD|的取值范围．解：(1)由题意，得当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，∴bc＝4， e＝，∴b＝2，a＝4，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)得，椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为(－2,0)， AC·BD＝0，∴AC⊥BD.①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|AC|＋|BD|＝6＋8＝14.②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，∴∴|AC|＝|x1－x2|＝，此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)，同理，由可得|BD|＝，∴|AC|＋|BD|＝＋＝，令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，∴|AC|＋|BD|＝， t>1，∴0<≤，∴|AC|＋|BD|∈.由①②可知，|AC|＋|BD|的取值范围是.2．[2017·甘肃兰州模拟]已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2.(1)求椭圆C1的方程；(2)设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|＝|PF2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，请说明理由．解：(1) 直线l的方程为x－y＋2＝0，令y＝0，得x＝－2，即F1(－2,0)，∴c＝2，又e＝＝，∴a2＝6，b2＝a2－c2＝2，∴椭圆C1的方程为＋＝1.(2) 圆心C2(3,3)到直线l：x－y＋2＝0的距离d＝＝，1又直线l：x－y＋2＝0被圆C2：(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2，∴r＝＝＝2，故圆C2的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.设圆C2上存在点P(x，y)满足|PF1|＝|PF2|，即|PF1|＝3|PF2|，且F1，F2的坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，则＝3，整理得2＋y2＝，它表示圆心是C，半径是的圆． |CC2|＝＝，故有2－<|CC2|<2＋，故圆C与圆C2相交，有两个公共点．∴圆C2上存在两个不同的点P，满足|PF1|＝|PF2|.3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．解：由题知，F.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)解：设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝|b－a|·|FD|＝|b－a|，S△PQF＝.由题设可得|b－a|＝，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·河北石家庄摸底考试]平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率e＝，过点F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)记椭圆C的上、下顶点分别为A，B，设过点M(m，－2)(m≠0)的直线MA，MB与椭圆C分别交于点P，Q.求证：直线PQ必过一定点，并求该定点的坐标．解：(1)由e＝，可得a2＝4b2，因过点F垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，所以＝1，所以b＝1，a＝4，椭圆C的方程为＋y2＝1.2(2)由(1)知，A(0,1)，B(0，－1)，点M的坐标为(m，－2)，直线MAP方程为y＝－x＋1，直线MBQ方程为y＝－x－1.分别与椭圆＋y2＝1联立方程组，消去x，可得y2－m2y＋－4＝0和(m2＋4)y2＋2m2y＋m2－4＝0，由韦达定理，可解得P，Q.则直线PQ的斜率k＝，则直线方程为y－＝，化简可得直线PQ的方程为y＝x－，恒过定点.所以直线PQ必过y轴上的一定点.2.如图，已知椭圆＋＝1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．(1)若点G的横坐标为－，求直线AB的斜率；(2)记△GFD的面积...
